QUADRATURE DBS SURFACES DE RÉVOLUTION

S08. Nous appelons aire d'unt portion de surface courbe, la limite vers laquelle tend l'aire d'une surface polyédrique, dont toutes tes facettes sont infiniment petites en tous sens, et qui est inscrite dans la portion de surface dont il s'agit.

Nous démontre rons plus loin que cette limite existe, et qu'elle est iudëpendante de la forme des faeettes du polyèdre inscrit, et de la loi suivant laquelle elles tendent veis zéro.

Nous chercherons ici à évaluer l'aire S de la surface engendrée par une courbe plane BH tournant autour d'un axe OX, celte aire étant limitée par deux plans normaux à l'axe de révolution, en t deux points donnés A et P. Décomposons d'abord I cette surface en bandes infiniment étroites par I des plans perpendiculaires i l'axe OX, et soit I mpp'm' une de ces bandes : décomposons-la k [ son tour en éléments du second ordre par u série de plans passant par l'axe OX, et soit c^d 1 un de ces éléments. Considérons la facette plane ' qui a les mêmes sommets a, p, /, S que cet élément de surface : la somme de toutes ces facettes, prise à la limite, nous donnera l'aire de la surface proposée. Or, l'aire du petit trapèze a^yd est égale, â un infiniment petit pris par rapporta elle, au produit

a^-ay^ corde mm' • «y, .

et la somme des trapèzes compris dans la bande mppW a pour expression nimf • lay. Mais la corde mm' ne diffère de Tare mm'=As que d'une quantité infiniment petite par rapport à elle-même ; la somme 2ay des côtés infiniment petits <xy a pour limite la circonférence du cercle mp décrit par le point m, ou 27ry, y désignant l'ordonnée de la courbe génératrice. On peut donc prendre ârryAs pour Taire de la surface polyédrique inscrite ' dans la bande, en négligeant une quantité infiniment petite par rapport h cette aire, ce qui n'altérera pas la limite de la somme des bandes. D'après cela, la surface cherchée sera donnée par l'expression

S = /iwi227ryAs,

d'où, en désignant par Xq et x les abscisses des points A et P, on aura

(\) S = 2n\ yds.

Si l'on substitue à ds son expression connue, on trouvera

= 2.j%d.yA7g

Les formules (1) et (2) suflîsent pour la quadrature des surfaces de révolution. L'équation de la courbe génératrice fait connaître y et Dxt/ en fonction de X.

999. Appliquons ces formules à l'ellipsoïde de révolution autour de son grand axe. La courbe génératrice a pour équation

d'où l'on déduit, en posant o* — 6*=a*c*,

/ ¥x^ dxi/a« — e*x*

ds = dx\/ l-H-17-i T. = — y —

On aura donc, en faisant commencer la surface à évaluer au plan x=0,

= — l dx ^a^ — - e*jc* = —^ \ ^^\/ "1 — ^ •'o "^0 ^

Tr6 / y-r T-z O* . ex\

== — l xv a} — vx^ H arc sin — i.

On fera x=a et Ton doublera, pour avoir la surface totale de l'ellipsoïde de rëvolulion allongé, qui sera

. 2nab (lA^^ -^ '.^y

Si a=6, s=0, et la surface de la sphère est 47ia'.

Si Ton avait à chercher la surface de l'ellipsoïde aplati^ on désignerait encore par a le demi-grand axe de l'ellipse génératrice, et celle-ci aurait pour équation

^* y* * ^ /Ti T