SUITE DES APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

^ 1. CUBATLAE DES Slit.lUES EN GÉNÉRAL.

301. Reprenons ]c problème du calcul du volume compris snusuni surface donnée, et d'abord, proposons^nnus d'évaluer le volume V coni' pris entre une surface EFGK donnée par son équation

le plan XY, deux plans AEIID, BFGC parallèles au plan XZ, et deux autres plans AfiFE, 1 DCGH parallèles au plan YZ. Pour cela, I décomposons le volume h évaluer en tranches infiniment minces par un système de | plans parallèles au plan YZ, et soit STT'S' la baite d'une de ces tranches sur le plan XY. Décomposons ensuite cette tranche en éléments inlinimcnt petits du second ordre par un système de plans parallèles au plan XZ, et soit MNPa|3}' un de ces éléments. On peut lui substituer le prisme rectangle de môme base P«^, et de hauteur MP^z, car on ferait voir, par les considérations bien connues, que les volumes de ces deux solides ont pour limite de leur rapport l'unité. Le volume cherché V sera dune rigoureusement égal h la limite de la somme des volumes de tous ces prismi's inscrits dans le solide, quand les plans sécants parallèles se rapprochent indéfiniment. Or, si l'on représente par Ax et \y les distances infiniment petites Pa, P|3 comprises entre deux plans sécants consécutifs, le volume du prisme élémentaire est zArAt/. La somme des prismes compris dans une même tranche STT'S', pour lesquels x et àx sont constants, est AxS(zAy). Mais comme Ay est infiniment petit, IzAy diffère infiniment peu de l'intégrale

t/« et yi désignant les ordonnées des points T cl S, et x étant regardé comme mtiariaWe dans celte intégration par rapport à y. On peut donc

remplacer lu sammc dvs prismes compris cnti-c les plans z et x + Ax par l'expression

Ai \ zdy, ■V« en négligeant une quaiilite iiirmimcnt petite pnr rsippoit ù cette somme. Réunissnnt les termes correspondants aux diffërcnlcs tranclies STT'S', passant il la limite, et désignant par Xo et Xi les abscisses qui répondent aux plans ADFK, DCGll, on iiurn enfin

V 1= Um l( Ax \ zdyit

Ainsi Je volume du solide s'exprime par une inlrgrale double. Il faiii observer (](ic la première intégrale h évaluer,

représente précisément, comme on s'en assure sans peine, l'aire de la section faite dans le solide par un plan quelconque parallèle k YZ, aire que nous avions désignée antérieurement par ip(j).

309. Comme application, cherchons le volume du solide eompris entre les plans coordonnés et la surface engendrée par une droite MN, qui se meut en restant parallèle au plan YZ, et en s'nppuyant sur deux droites I fixes, AC dans le plan X7., BD parallèle à 0\ dans I le plan XY.

Faisant 0A = o, 0B^6, OC=c, on trouve lour l'équation de la surface

et les liinilcs d'intégration seront, par rapport à y, i/<i=^0, ji^t; par rapport à x, 3^0^=0, X( = a. Donc

-sj>-')''<''-î'')rsS'<»-')'"-*-

Cesl le quart du volume du parall^Iipipùdc rerlangic construit sur OA, OB, OC.

303. Reprenons encore le même problème, mntg en supposant que le solide à évaluer, au lieu d'être limild en avant et en arrière pnr deux plans parallèles au plan XZ, soit limilé par deu)t cylindres, CBFG, ADIIE, parallèles à l'iixe des z, el dont | les traces sur le plan XY sont deux eourbes données BC, AD. ISous décomposerons encore ce solide I en tronches infiniment minces pur des plans parallèles au plan YZ, el cliacune de ces tranches en 1 filets élémentaires iïPxpy par des plans parallèles I au plan XZ, et infiniment voisins. Nous ncf^lige- '^ rons, dans chacune des tranches telles que STT'S', , les filets extrêmes qui ont pour bases sur le plan XY les triangles curvilignes $S'«, TT'I, ces filets étant infiniment petits par rapport à la tranche, et cela n'altérera pas la limite de la somme des tranches, ou le volume - demandé. Nous remplacerons encore le filet élémentaire KPstfiy par le prisme rcclanf^le de hauteur MP^z, et de luise Pa^y=AxAt/, sans que cela allèrc ta limite de la somme de ers filets, et nous aurons

\ =^ lim ~ zAxAy, le si);ne Z setcndanl à tous les prismes élémcnlnircs. Sommant d'abord les prismes compris dans une même trnnclic, nous trouverons, en raisonnant comme dans le premier cas, que cette somme ne diffère que d'une quantité négligeable de l'inti-giiilc

X étant constant dans l'ialégralion, et (/o, i/„ désignant les valeurs de y qui correspondent aux deux points T et S. Mais il faut observer qu'ici t/n, y, ne sont plus, comme dans le cas précédent, des constantes données : ce sont les ordonnées correspondantes ti l'abscisse x dans les deux courbes AD, fiC, traces des cylindres sur le plan XY, et ce sont des fonctions de x données par les équations de ces traces. Faisant ensuite la somme des difiérentes tranches comprises entre les plans x=^x<i, x=xi, et passent a la limite, nous aurons encore pour le volume cherché l'expression

A dx\ zdn.

— Ô72 — ivmbluMc à ré<{un(iDn (I), mais en diffënint por In significntion plus générale des Icllrcs yo, yi.

Les deux rvlinilrcs vcrlicauJt peuvent élrr deux nappes d'une même surfaee eylindrique, dont la base est une courbe Tcrinée : i/o el tf i sont alors les deux valeurs 4lct/ que Tournit l'équation (p(x,y]^0 de celle base.

S04. Suit à calculer le volume compris eitlrc la surface OCDC'D'du I paraboloïdc olliplique

le cylindre vertical qui a pour base l'ellipse

I deux plans x=To, x=Xi, et le plan XY.

L'étinalion ilcrclMpse nous donne immédiatement

pour les ordonnées limites. Nous avons

V = l dx\ («x' + py»)dy,

et en effectuant la première inlégration, puis substituant k y» et y, leurs valeurs ci-dessus.

On trouve d'ailleurs facilement

Les deux inle){rales doni dépend le volume cherché soni donc ramenëcs a une intégrale bien connue. Subslitiiant, et prenant l'intcgrale relative à JT entre les limites données, on aura

En posant Xa = — a, X| = -h a, et se rappelant que l'intégrale prise entre ces limites vaut la demi-surrnee du cercle de rayon a, on trouvera, pour levolume total compris entre le paraboloTde, le cylindre et le plan XY,

„ nafe, , ,,,. 7ro6c V— (..•H-|3f) = j-,

e désignant l'ordonnée verticale du parnboloTde qui correspond k x^a, «/•^fc.Cest le quart du volume du cylindre de hauteur c, et de base ABA'B'.

SOS. Ce qui précède conduit Tacilemcnt à l'évaluation du volume total V compris sous une surface fermée

On décomposera encore le solide en filets verticaux par deux séries de plans infiniment voisins, les uns parallèles à YZ, les autres parallèles à XZ, cl l'un quelconque de I ces filets, tels que MNM'N', pouna être remplacé I par le prisme ayant pour base un rectangle égal I à l'élément Pat^/ du pl;in XY, et pour hauteur la différence HM' des ordonnées verticales z et 1 Zfl de la surface donnée, qui répondent à un I même point P(x, yj du plan XY. Les volumes 1 du filet et du prisme ont en effet pour limite de leur rapport l'unité, et le solide total sera la limite de la mes, qui ont pour expression générale {z — so) AxAy.

La somme des prismes compris entre les deux plans x, x+Ax, peut être exprimée par

At V (î — îo}'',7.

I/o et yi désignant toujours la plus petite cl la plus grande valeur de y qui répondent à la section fuite par le plan x dans le solide. Si l'on chcrclie, sur le plan XY, la courbe ABCD qui renferme les projections de tous les

points de la surface donnée sur ce plan, y© cl yi seront évidemment les ordonnées des points T et S qui répondent ù une même abscisse x dans réquation de cette courbe : ce seront des fonctions de x fournies par cette équation. II faut encore faire la somme des volumes correspondants aux diverses tranches parallèles au plan YZ, et passer à la limite, ee qui se fera en intégrant Texpression ci-dessus par rapport à x, entre les limites Xo et Xi qui répondent aux limites du solide dans le sens de Taxe des x; Xo et Xi sont la plus petite et la plus grande valeur de x donnant des points réels de la surface proposée. On aura donc

(2) V = \ dx\ (z^Zo)dy.

306. La détermination des quantités f/o, yi> Xo, Xi, se fera comme il suit. Généralement, la courbe ABCD, qui forme le contour apparent de la surface sur le plan XY, est la trace d'un cylindre vertical circonscrit à la surface ; la courbe de contact de ee cylindre est le lieu des points de la surface où le plan tangent a celle-ci est parallèle à l'axe des js, et où, eonscquemment, le coefïicient de Z est nul dans Téquation de ee plan (178). La courbe de contact satisfait donc aux équations

¥{x,y,z) = 0, rf^=0;

éliminant z entre ces équations, on obtiendra entre x et f^ Téquation de la projection ABCD de cette courbe.

Les abscisses Xo et Xi répondent aux points A et C, limites de la courbe ABCD dans le sens de Taxe des x. En ces points, généralement, la tangente à la courbe est parallèle a Taxe des y, et le plan tangent à la surface est parallèle au plan YZ. On a donc

équations qui fourniront les .valeurs de Xo et x^.

Il esta peine nécessaire d'observer que, dans cette théorie, nous admettons implicitement que la courbe ABCD ne soit coupée qu'en deux points par les parallèles à l'axe des y, et la surface F=0 qu'en deux points par des parallèles à Taxe des z. On voit assez comment il faudrait opérer dans des cas plus compliqués.

307. La décomposition du solide en prismes infiniment petits par des

plans p&rnDèlcs aux plans coordonnés se présente naturellement; mais il y des cas où l'on est conduit à des inlé);i'ii lions plus simples en adoptant un Hiilrc mode de décomposition; par exemple, par des plans passant par l'axe des z, rt des cylindres de révolution autour de cet axe. Supposons que l'on veuille évaluer le \ulunie compris entre la sphère

i' + y» -1- 3' = «* , le plan XY, et le cylindre vertical OPXMA dont la base est un dcmi-cercIc décrit sur le rayon a comme diamèti-e. Le prisme élémentaire compris entre deux plans ZOP', ZOP passant par OZ et faisant avec le plan XZ les angles 0, + (ie; et les | cylindres de rayons r, r-¥dr autour de l'axe OZ, i pour volume zrdrd^, z étant l'ordonnée verticale de 1 la surTace spbérîque qui vaut ^o* -^ r' , et rdrd^ exprimant, comme on le voit sans peine, l'élément plan qui sert de base à ce prisme. Pour trouver la ' limite de la somme de tous ces prismes, on intégrera donc l'expression j/a* — c'rt/rdO, d'abord par rapport à r, entre les limites r^O et r=acosO qui répondent aux deux cxti-émitcs O et P d'une même tranche ; puis on intégrera le résultat par rapport à 9 entre les liuiilcs G=0 et 0:=qui répondent au plan XZ et au plan YZ. Comme on a

la voleur de cette intégrale entre les limites r^O et r

hc volume clierclié V aura donc pour expression

-sin'e)tie = - l (I— sin6-*-coi

Eu doublant, on aura le volume total compris unti-e le plan XY, le cylindre complet et la sphère.

Exercices.

i. Calculer le volume V compris entre la surface le plan XY, et les plans sc^O, xasa; yasO, y^6.

t. Volume compris entre la surface gauche qui a pour équation

sr := c arc te - )

le plan XY, et les plans a;=0, x=za\ y^O, y:=b,

a6arctg-H I. (a*-*- 6») — --I. &-♦-- I.o

Dans le cas particulier où a=:6=c, on a

s. Volume compris entre la surface

c~' = cos X cos y ,

le plan XY, et les plans a!=0, acass-; ys=0, y = 3* R. On est ramené à intégrer I. cosxdjir entre et ^; observant que

1t Tt TT

*. f*. . . 1 f^. sinSte

et que

I 1. cosa;aar=l I. sm a;c{x as - I 1. — - — cte,

V 1. sin 2a? (/sB = - I 1. sina;(ia;= I 1. sinxcfa;,

on trouve sans peine

\.cosxdx= — s '«2, et V = — 1. 2.