Les équations ordinaires de la cycloïde donnent

ds = 2a siu - » yds = 2a' (1 — cos w) sin - dcù ,

et, par suite, l'aire S engendrée par la révolution d'un arc de cycloïde commençant à l'origine et tournant autour de la base^ sera

S = 87ra* \ sin' - sin - rf« = 87ra' \ (1 — cos' - | sin - diù 3o 2 2 )^\ 2y 2

= ICrra' ( - — cos - -♦- - cos^ -z \ \3 2 3 2/

Faisant «=27r, on trouve pour la surface correspondante à une arcade entière de la courbe

S = — - Tra*.

Exercices.

i . Paraboioïde de révolution .•

y« = 2/»x, Xo = 0; S = ?^ [(p« -i- y«) » - p«] .

t. Surface engendrée par la révolution autour de Taxe des x de la chaînette

Si V est le volume de révolution correspondant, on a 2V = aS (voir § 1, ex. 6). M, La cardiotde r=z^a (1 -h ces 6) tournant autour de son axe, trouver Taîre totale de la surface engendrée.

4. Même problème, la courbe génératrice étant la podaire de Tellipse

r* == o* cos* 6 -H &• sin* 6.

sined0l/o«cos*e+6«sin«0=27r( a*-*- 1. '^^ )•

ft. Même problème, la courbe étant la lemniscate r'=sa'cos26.

R. S = 47ro«M ^\

•. Surface du tore engendré par le cercle «*-f-(y— e)'=a' tournant autour de Taxe des X.

R. Cette surface se compose de deux parties : Tune correspond i la courbe dont l'ordonnée est y = c-*-|/a* — a^j sa valeur est

Tautre, où Tordonnce génératrice est c — J/a* — ac*, est égale à

27ra \ ( ^ — 1) da?=; 27rof^ — o Y

Ajoutant, et doublant pour avoir Taire totale, on trouve

S = ^TT^ac = Stto • 27rc.

9. Démontrer que si une courbe tracée dans le plan XZ, z =r f («), engendre une surface par sa révolution autour de Taxe des x, la portion de cette surface comprise entre le plan XZ, un cylindre vertical y=f (as), et deux plans a;,, et(v, a pour expression

f {x) dx arc sin |i^ XV^-^^ («)*•

JTO