V. Calculer le voliiine OAOBC compris, dans rcllipsaïdc

lOrdonncs, et le plan ABD

entre ta surTacc, les pli des axes n, b, paraticlenieiit à H. On a id

Cest la huitième partie du volume qui reste lorsque 1' coupe un ellipsorde par quatre pians parallèles k un même i et passant eliacun par deux sommets adjacents non situés sur cet quatre solides retranchés vaut donc -:;— (8 — 81/?).

S. Volume total V compris sous la surrace qui a pour équation

R. Lo partie comprise dans le trièdre des coordonnées positives est le 8™' du volume lolal. On a

Si l'on pose, pour faciliter la première intégration,

U trouvera

•. Calculer le volume compris entre la sphère qui a pouréquut

le plan XY, et le cylindre vertical représenté par l'cquatiou

»■ (i' -t- y") — o' (ai' - D*) = 0.

It. En employant tes coordonnées polaires r et S, on trouve

■•. Itéinonlrcr que, si l'on rgpiinrte les [loints de l'espace aux coordaimces pliiM r, 9, ^, le voluine compris sous une sui'Tacc fcrnicc i-^r(D, i)>), le pôle étant dansl'iilé' rieur de la surfucc, a jiour expression

$ 2. gtAUtlATLItE DES SrnPACES

3#S. Supposons i|ii'll s'ugissc d'iivalucr l'uire comprise, sur une sordts donnée pnr sua Ji]uaIton en coordonnées rcctnnguluii'cs

duns l'intùricur d'un contour fermé A'IfC'D', qui se projette, sur le pian L XY, suivnnt uneonlour ABCD.Nousdécom- I poserons ectte aire en bandes infinlnicDl I étroites par un système de plans parallèlesi I VZ; soit STT'S' la projection d'une de m bandes sur le plan XY. Puis, nous décomposerons eliacunc de ces bandes en élémcDls infinimeiil petits MNN'M' par des plans parai- I lèles au pliin \Z, en sorte que la projection Px^^-d'un du ees éléments aura pour aire le ' produit AxAff des distanecs de deux pians consécutifs de cliaque système. Imaginons un polyèdre inscrit, dont les fiicettcs triangulaires oient pour sommets ceux de ces éléments : les Tacetlts Mi\H', M'NN' de ce polyèdre font évidemment des angles tnlinîmeul petits avec le plan tangent à la surface en M, et par suite, elles font avec le plan XY des nugics qui dilTcreut infiniment peu de l'angle k compris cotro ce plan tangent et le plan XY. De ]h nous coneluons

AxAy = (MNM' ■+■ mï^') eos v, îâS-ÎT + M'N.N' = ^,

en négligcnnt une quantité infiniment petite par rapport à l 'clément de surfaee. La somme des aires des facettes comprises entre les deux plans'i x-i-Aj-, en laissant de càtè la première et la dernière que l'on peut négliger) aura pour expression, aux infiniment petits près d'ordre supérieur

jfo et ffi étant les ordonnées des points T et S qui répondent à Tabscisse x dans le contour ABCD, et x restant constant dans celte intégration. Soient Xo et Xi les valeurs de x qui répondent aux points A, C, limites du contour ABCD dans le sens de Taxe des r; Tintégralc

(i) S=( ' dxi

-0 -yo^"^^

représentera donc la limite de la somme des facettes du polyèdre inscrit dans la portion de surface limitée par le contour A'B'C'D', c'est-à-dire, d'après la définition donnée au n® 298, Taire S de cette portion de surface. L'angle v n'est autre que Fangle aigu formé avec l'axe des z positifs par la normale à la surface au point M (i, y, z)» Si donc on désigne par /^ et 9 les dérivées partielles de z par rapport h x et y^ tirées de l'équation de la surface, on aura, d'^après les formules du n° 180,

cos y = ^

(/i -\- p^ -i- q* et réquation (1) pourra s'écrire

•yi

(2) S==l rfxl dy[/\ ^p* ^(j*.

La forme du contour ABCD est arbitraire : s'il se réduit à un rectangle dont les côtés sont parallèles à OX, OY, y» et yi seront des constantes données, comme Xo et Xi; s'il se compose de deux arcs de courbes différentes, terminés à deux droites parallèles à OY, yo et ji seront des fonctions de X tirées des équations de ces deux courbes. Si l'on a à évaluer l'aire totale d'une surface fermée, ABCD sera la base du cylindre vertical circonscrit à cette surface, et A'B'C'D' la courbe de contact de ce cylindre avec la surface; elle partagera celle-ci en deux parties que l'on évaluera séparément.

309. D'après ce que l'on a vu, pour légitimer notre définition de l'aire d'une portion de surface courbe, il Aiut que la surface du polyèdre inscrit tende vers une limite fixe lorsque ses facettes tendent vers zéro, et que cette limite soit indépendante de la forme et de la loi d'inscription des facettes. Or, c'est ce que la formule (2) établit, au moins pour le système de polyèdres à facettes triangulaires que nous avons choisi, car cette intégrale double représente une quantité déterminée, de quelque

.-jso —

iiiariicrc i|iic Ai' et Aj/ tendent vers zëro. Supposons maintenant que l'on inscrive dans ta portion de surface A'B'C'U' un polyèdre, k facctt«s infini* ment petites dans Ions Jes sens, mais de forme quelconque. Si parles arùlcs de ce polyèdre cl du polyèdre primitif, on mène des plans perpendiculaires au plan XY, ces plans partageront évidemment les surfaces des deux polyèdres en éléments plans, infiniment petits dans tous les sens, qui auront deux à deux les mêmes projections sur le plan XY. De plus, les plans de deux éléments de même projceliun e font avec le plan XY des angles infinimenl peu différents, puisque l'un et l'autre sont infiniment peu inclinés sur les plans tangents à la surface en des points infiniment voisins; les aires des éléments eux-mêmes sont donc égales dcux-i-dcui, en négligeant des quantités infiniment petites par rapport à ces aires, et, par suite, les limites de leurs sommes respectives sont rigoureusement égaies, C. Q. F. D.

On pourra donc adopter,.pour les facettes infiniment petites du polyèdre cril, telle loi que l'on voudra : on trouvera tou- I jours la même voleur pour l'aire de la surface dunnéc.

310. Clicrclions, comme application de l'équation I (1), la portion de surface OADB limitée pur les plans = 0, j:=o; y=0, y=='', sur le paraboloïde

avons ki

.■\-ji-^q j.

a ]/x;/ (/2 K h /y (/S Ju /j:

nt les intégrations,

' la portion de cette môi drc vertical

Si l'on voulait calculer la portion de cette môme surface liuiitcv par les »cs OX, OY, et le cylindre vertical

on ferait dans la formule gênera le (2),

ro = 0, xi = on aurait donc

a; yo = 0, y, = 6M— %/-j;

ou, tout calcul fait,

SU . Il est souvent plus avantageux, comme nous Tavons vu à Toccasion des volumes, de décomposer la surface en cléments par des plans passant par l'axe des 2, et par des cylindres de révolution autour de cet axe. LVlément infinitésimal de l'aire cherchée, compris entre les cylindres de rayons r et r-k-dr^ et les plans d'azimuts et G -h rfO, sera évidemment

exprimé par

rrfrrfS