Remarquons, d'abord, que l'intégrale définie

f (x) dxy

o et 6 étant des quantités données, représente l'aire de la courbe plane qui a pour équation, en coordonnées rectangulaires, y = f(x), terminée aux ordonnées qui répondent aux abscisses a et 6. Les considérations qui conduisent à une valeur approchée de cette aire plane fourniront donc aussi une valeur approchée de l'intégrale proposée. Cela posé, soit PoMolVJâ„P-,

l'aire dont il s'iigil, l'iirlngcons la portion P()P,,=/» — a de l'nxe dc6 x en un nombre pair 2m de pnrlics égnics Aj-, et pnr les points de division Pt) P*i Pi'o élevons les ordonnifcs correspondantes H, Pi , M,P], MiPi..., qui partageront celte nire en 2n se{;menls, d'nutunt plus petits que h sera plusgrand. Soient yo=s=MoPi>, yi^=M|P,,...

y»,^M,,P,,. Considérons deux segments conscculirs PuM»M,P,, P,H,M.P,: la méihodc de Simpson eonsistc à remplacer, dans l'évaluation de la somme de ces segments, l'arc de courbe MoMiMi pnr un are de parabole passant par les points Mo, M|, Ml, et de plus, lungent en M| à une droite ' parallèle à la corde ItloMi. Cela est toujours possible, car si l'on prend celte tangente et le djamclrc correspondant MiPi pour axes coordonnes, l'équation de la parabole devra être de la forme i/*=âpx, et en déterminant p de manière à faire passer la courbe par le point Mt, elle passeia aussi par le point Mo, et remplira toutes les conditions.

Or, si l'on admet que celle parabole se confonde sensiblement avec la courbe entre Mg et Mi, ce qui aura lieu si Ax est assez petit, l'aire PoHoHiUiPi se composera de deux parties, l'aire du trapèze PoHoMiPi qui est égale &

iixiyt-^yt), et celle du segment parabolique MuMiUi, égale, d'après le n" S7â, aux deux tiers du parallélogramme construit sur lu corde MuSIt et sur la flèche MiPÎ, c'est-à-dire à

Donc

avrf, PoHoM.M.P. = ^ (jo + 4y, + y.).

En évaluant de même les couples de segments PiMtM4P4f> par la substitution d'arcs de paraboles aux arcs de courbe, et faisant la somme de tous les segments, on trouvera

f(x)da;= -^ O/o -H 4y. -t- 2y. -♦- iyj + 2y* + • - -t- Ay,.^, -»-y,.),

ou enfin, en observant que b — a=2nAx,

H 4yi + 2y, + 4y, -H ■ ■ + 2y.^, + 4y«^, h- y..)-

Telle est la formule de Simpson. On pourrait, par l'emploi de la formule de Taylor, déterminer les limites de Terreur commise lorsque Ton prend un nombre donne 2n de divisions, mais l'application de la formule de Simpson au calcul approche d'intégrales définies déjà connues su£Sra pour convaincre de son exactitude.

Exercices.