DÉFINITION ET GÉNÉRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

315. L'objet du calcul intégral, ainsi qu'on Ta vu au n"" 2i5, est de remonter, des relations données entre les variables et leurs différentielles, aux relations qui existent entre les variables elles-mêmes. On nomme équafions différentielles ces équations qui renferment à la fois les variables et leurs différentielles : celles qu'on en déduit entre les seules variables, se nomment leurs mt^jra/e^. Le problème de l'intégration présente différents cas, que nous étudierons successivement : i"* Deux variables x et y peuvent être liées entr'elles par une équation renfermant la dérivée de y par rapport à X : c'est ce que l'on nomme une équation différentielle du premier ordre. Elle est de la forme

Si la dérivée de y n'y entre qu'à la première puissance, auquel cas l'équation se ramène à la forme

réquation est du premier ordre et du premier degré. La fonction f peut ne pas renfermer t/; la dérivée de y est alors donnée en fonction de x seul : on retombe sur le problème que nous avons traité au livre précédent, â** Si l'équation différentielle entre x et y renferme des dérivées d'un

ordre supérieur au premier, soit n Tordre de la plus haute dërivce qui y entre : Fëquation différentielle est dite de l'ordre n. Elle est de la forme

di/ d^tj d'^y"

5'' Enfln, plusieurs fonetions d*une même variable indépendante peuvent être définies par un nombre égal d*équations renfermant, avec les variables, les dérivées de ces fonctions jusqu'à un ordre quelconque. On a alors un système d'équations différentielles simultanées.

Outre ces équations dans lesquelles les variables dépendent d'une seule, et que Ton nomme équations différentielles ordinaires^ il en existe d'autres, déterminant une fonction de plusieurs variables indépendantes par une relation entre ses différentielles totales ou partielles et les différentielles des variables. Nous ne nous en occuperons pas ici.

316 On peut concevoir la formation des équations différentielles d'une manière qui jette certaine lumière sur la nature de leurs intégrales. Soit

une équation entre deux variables a*, y, renfermant en outre une constante C. L'équation que l'on obtient en différentiant la précédente,

rfF rfF dy dx dy dx '

renfermera encore, en général, la constante C; mais si l'on élimine C entre les deux équations^ il en résultera une troisième équation

qui renfermera la dérivée de t/, mais sera indépendante de C. Cette équation aura donc lieu entre x, y, et -^ , indépendamment de toute valeur

particulière attribuée à la constante C dans l'équation (i); en d'autres

termes, elle exprimera une propriété commune à toutes les courbes que

Ton déduit de l'équation (1), par la variation du paramètre G. Par exemple)

l'équation

t/«~2Car — C« =

donne par différentiation

et rëliminalion de C conduit à l'équation diflérenticUc

h laquelle satisfont toutes les paraboles comprises dans Tcquation primitive, et correspondant aux diverses valeurs de la constante arbitraire C.

317. Delà même manière, si Ton a une équation renfermant deux constantes arbitraires

en la différentiant deux fois de suite, on pourra éliminer C et C entre les deux nouvelles équations et l'équation primitive. On formera ainsi une équation

qui sera du second ordre par rapport à t/, mais qui ne dépendra plus des constantes C et C

Et en général, soit F(a;, y, C, C, C",...) = une équation entre x et y renfermant n constantes arbitraires. Joignant à cette relation les n équations qu'on en déduit par n différentiations successives, on aura n+i équations entre lesquelles il sera possible d'éliminer les n constantes C, C, C",... On formera donc une équation différentielle de Tordre fi.

^/ dy d^y d^yX

ne renfermant plus ces constantes, et à laquelle satisfera toute fonction y de X déterminée par l'équation primitive, quelques valeurs qu'on attribue

On arrive donc à cette conclusion importante : une équation entre deux variables x, y, renfermant n constantes arbitraires, peut être remplacée par une équation différentielle de l'ordre n, qui a au moins la même généralité, et ne renferme plus aucune de ces constantes.

Nous devons donc nous attendre à voir reparaître, dans les intégrales des équations différentielles, ces constantes arbitraires qui ont disparu par élimination.

31 S. L'élimination de n constantes entre une équation et ses n premières dérivées peut évidemment se faire de bien des manières différentes; mais, quelle que soit la voie suivie pour opérer ce calcul, l'équation diffé-

rentielle finale sera toujours la même. En effet, considérons par exemple une équation F (x, y^ G, C) = qui renferme deux constantes arbitraires C et C, et d'où Ton déduit Téquation du second ordre

Si Ton prend pour x une valeur déterminée, on peut encore choisir

arbitrairement les valeui*s correspondantes de y et de -p tirées de Féqua-

tion F = 0, puisqu'il suffit de satisfaire à deux équations au moyen des indéterminées C et C. Mais, une fois C et C déterminés, Féquation F=0 détermine complètement la fonction y de la variable x, ainsi

que ses dérivées du premier et du second ordre. Ainsi, la valeur de -j^

se trouve complètement déterminée lorsque Ton se donne les quantités x,

dy y, ~ 9 qui peuvent d'ailleurs être choisies arbitrairement : elle est donc

une fonction déterminée de ces quantités, et l'équation

qui exprime la relation entre ces quatre quantités, ne peut, quelque forme qu'elle affecte, conduire qu'à une même expression de -r-^*

Ce raisonnement s'étend sans difficulté à une équation renfermant /t constantes arbitraires.

Exercices.

t. Éliminer C de Téquation

dx V (te* •