Si l'équation proposée était

(Ax 4- By -4- D) rfx -*- (A'x -H Fi/ -^ D') rfy = , on la ramènerait à la forme précédente en posant

H, yj étant de nouvelles variables, et a, (3 des constantes. Déterminant a et (3 par les équations

Aa 4- B[3 H- D == ,

A'aH-B'PH-D'=0,

on trouverait entre Ç et y] Téquation différentielle

(A? + Byj) dl + (A'? + B'yj) r/y; = ,

qui s'intégrerait par la méthode ci-dessus. Cette transformation serait en défaut si AB' — BA' était nul, mais alors A'x + B'y serait le produit de Ax-hBy par un facteur constant, et Ton séparerait les variables en posant Ax 4- By = z.

SSl. Équation linéaire du premier ordre. — On appelle ainsi Téquation

(5) g-^Xy = X.,

X et Xi étant des fonctions explicites de x seul. La séparation des variables s'obtient encore par une substitution. Posons, ii et z désignant de nouvelles variables dont une peut être choisie arbitrairement,

y = uz^ d'où dy = zdu-^tidzy

et par suite

du dz

(6) z- — *- w ;t — h X ?/JC = Al .

La variable z étant quelconque, assujettissons-la à vérifier l'équation

ce qui réduira à zéro le coefficient de u dans l'équation (6), et ramènera celle-ci à la forme

du z j— == Xi.

On tire immédiatement de ces deux équations

hXdx = 0, l.z = — /Xrfx, z = c-/*^,

et par suite

Jî = Xt e/*"', M = C + / Xi c/^-^dx.

Il faut observer qu'il est inutile de compléter par une constante Tinté-

grale fXdx qui figure dans rexprcssioii de r, parce qu'il suffît évidemment, pour le but que l'on se propose, de trouver pour z une fonction particulière vérifiant la condition dz -+- Xzdx = 0, Remplaçant maintenant u et z par leurs valeurs dans l'expression de i/, on trouve, pour Tintégrale générale de l'équation linéaire

(7) y = e-/*^' (C -^ / Xief^'^dx).

Soit, comme exemple, l'équation

rfy

-~ + w eos X = sin x cos x.

dx -^

On a ici

X=cosx, Xi = sinxcosr, yxdx=sinx,

/Xic/*'''rfx = /e«'"'sin x cos xrfx = e''"'(sin x — 1),

et l'équation (7) nous donne pour l'intégrale générale

y = Ce-»'"' H- sin X — I .

ZZ^, L'équation

dite de BernouUiy se ramène facilement à l'équation linéaire. 11 suffit de la diviser par t/*+* et de poser «=!/""; on a successivement

y-(n+i) ^ ^ xv-» = X, , — - ^^ H- Xy-* = Xi,

^ dx n dx

-; nXz = — nXi,

Cette équation, linéaire en z, s'intègre par la formule (7), et l'on obtient

y-'* = e"/*'^ (C — n / Xie-"/^'" dx).

L'hypothèse n= — 1 nous ramène à l'équation (6); n=0 rend l'intégrale illusoire, mais Téquation de Bernoulli devient alors

et s'intègre sans difficulté par la séparation des variables.

333. Remarques. — 1° Parmi les valeurs que l'on peut attribuer à la constante arbitraire pour faire rentrer une intégrale donnée dans l'intégrale générale, on doit comprendre les valeurs C=-4-qo et C = — oo, si l'on ne veut laisser échapper aucune intégrale particulière. U suffit, pour justifier cette observation, de remarquer que si l'on remplace C

par — dans Tintégrale générale, ce qui est évidemment permis, on devra

admettre la valeur C'=0.

2° L'intégrale générale d'une équalion différentielle est susceptible de formes très-variées à cause de la possibilité de remplacer une fonction de la constante C par une nouvelle constante C. Elle peut même ainsi passer de la forme transcendante à la forme algébrique. Exemple : l'équation

dx dy

a pour intégrale générale

arc sin x -+- arc sin y = C.

Mais, si l'on transforme le premier membre de celle-ci par la formule qui exprime le sinus de la somme de deux arcs, on a

arc sin {x j/l — i/* -h y j/l — x*) = C , ou

x [/i — y« -4- y |/l — X* = sin C = C,

et cette intégrale est algébrique par rapport aux variables x et y. Nous avons vu un autre exemple de cette simplification de l'intégrale générale au n» 529.

S"* Le changement de forme de l'intégrale générale ne dépend pas toujours d'une transformation de la constante arbitraire : il arrive que la fonction qui satisfait à l'équation différentielle soit représentée par une expression différente, suivant que les valeurs de la variable sont comprises entre telles ou telles limites. Considérons l'équation linéaire

dy ^ xy

dx 1 X*

On a ici

/xrfx=Jj^= — \,\.{\~x*) — i.i/nr;î,

f Xief^^^dx = a\ = a arc sin x •♦- C,

et l'intégrale générale de l'équation est

y = |/l — X* (C H- a arc sin x).

Mais cette intégrale devient imaginaire si x' est > 1 , quoique l'équation

difTércnlielle reste réelle. En effet, on a alors (224)

/ Xrfx = — ^ I. (x« — i) = ^ 1. /x*-— 1,

f X ie A*^ = a C ^^ = a 1 . (x -f • |/x« — i) -♦- C ,

et rintégpale générale, pour les valeurs de x non comprises entre —1 et -♦- 1, prend la forme

y = |/x« — 1 [C 4- al.(x-+- ^/x« — -1)].

4° Lorsque, pour intégrer plus facilement une équation différentielle, on la multiplie ou divise par une fonction des variables, il faut prendre garde que l'on peut de cette manière introduire ou supprimer des solutions dans réquation^ comme nous l'avons observé à pi*opos de Téquatioa homogène. Ainsi Téquation du n"" 227

XiYirfx-+-X,Y8rfy =

est satisfaite par Thypothèsc Yi=0, car les valeurs constantes de y que fournit cette équation donnent dy=^0. En divisant l'équation proposée par XjYi pour séparer les variables, on fait abstraction de cette hypothèse: on néglige donc des intégrales qui peuvent être, ou particulières, ou singulières. Il y a même des cas ou l'hypothèse X2 = 0, qui donne x constant et c/x=0 et vérifie conséquemment l'équation donnée, ne doit pas être négligée : elle correspond géométriquement à des droites parallèles à l'axe des y, et ces droites peuvent répondre à la question géométrique qui a donné lieu h l'équation différentielle.

Exercices.

Vérifier si les équations suivantes satisfont à la condition Prfa? -h Qdy = dF (x,y), et les intégrer :

xdx-^ydy ydx — xdy « ,» w^^ % /l 1 5v

t. -^ ^ - -^^ r^=0. R. y=xcoi{C — Vl'*-x^-i-y^).

R. a?H-l/x»-Hy* = C, ou y* = C* — 2Ca;.

S. (j^-t-Sa-y^jt/œ-f (y« + 3£c«y)rfy = 0. R. a5*H-6xV-+-y* = C»

Intégrer, par la séparation des variables, les équations

». (a«4-y»)rfa;— 2a;l/tfa7— o«rfy=0. K. y—V^ax — a*=C{a*-^yyax — a*),

•. (l-f-»«)y»(ix-t-(l-y*)a3rfy=0. R. -L^- -, =21.-^.

». (l-+-y*)rfaj-(y+V/T-ry«)(l + a;«)«(/y = 0.