L'équation du premier ordre et du premier degré
est toujours réductible à la forme suivante : (1) Prfx-*-Qrft/ = 0,
(i) La théorie complète des solutions singulières trouvera place dans la seconde partie de ce cours.
P et Q désignant, en gênerai, des fonctions données de x et de y. Il y a un cas où Tcqualion (i) s'intègre immédiatement : c'est celui où l'on reconnaît dans son premier membre la différentielle totale exacte d'une fonction F(rr,y) des variables x, y, en sorte que l'on a identiquement
Prfx -♦- Qdy = d.F (x, y).
En effet, l'équation (1) peut alors s'écrire sous la forme d. F(x,y)==0, et pour y satisfaire, il est nécessaire et suffisant que l'on pose
C étant une constante arbitraire. Cette équation renferme donc toutes les solutions possibles de l'équation (I), et en est l'intégrale générale. Par exemple, l'équation
('-.-riy)''-(»-.-^)* = »
mise sous la forme
, , xdy — y dx xdx ■¥ ydy -^ — -^ ^^-^— = 0,
devient évidemment
et son intégrale générale est
- (x« -*- y«) + arc tg | = C.
3^6. Il est rare que l'on aperçoive ainsi de prime abord une fonction F(x, y) dont Prix-*- Qrfy est la différentielle exacte , mais il suffit qu'elle existe pour que l'intégration de l'équation (1) soit ramenée aux quadratures. En effet, si Pdx-^-Qdy est la différentielle totale d'une fonction F (x, y) des variables, on a
dF Q^^ rf*F d*F
dx dy dydx dxdy
et par suite
— = ^ ^ ' dy dx
abstraction faite de toute relation entre x et y. Réciproquement, si P et Q vérifient la condition (2), la fonction F existe
et nous allons la dcUTmincr. Sa dérivée partielle par rapporta x étant P, la fonction F est nécessairement comprise dans l'intégrale de Prfoc par rapport h r, y étant considéré comme constant, et la constante arbitraire de l'intégration devant être remplacée, par conséquent, pair une fonction arbitraire 9 (y) de y seul. On aura donc
F=/Prfx + (p(y)=Pi -V- cp(y)> et il ne reste plus qu'a déterminer 9 (y), si cela est possible, de manière à satisfaire à la seconde condition
On déduit de cette équation, évidemment,
et pour que cette équation soit possible, <f{y) ne renfermant pasx, il faut et il suffit évidemment que le second membre soit aussi indépendant de j, ou que sa dérivée partielle par rapport à x soit nulle identiquement. Or, on a
Ji/^O — — ^=^— — /^— ^=— — — /^— ^ — ^ — — , dx\ dy J dx dx\dyj dx dy\dxj dx dy
puisque P4=ypdjc. Le dernier membre de l'équation se réduit à zéro, P et Q satisfaisant à l'équation (2); donc la condition est satisfaite, la variable x n'entre pas dans l'expression de (p'(y}, et la fonction 9 sera donnée par Téquation
Substituant sa valeur dans l'expression de la fonction F, et égalant ce llc-ei à une constante arbitraire, on obtient l'intégrale générale de l'équation proposée :
(3) fPdx+UQ-^-^\dy = C,
la première intégration étant relative à x seul, la seconde à y seul.
Ainsi, la condition nécessaire et suffisante pour que Pdx-^Qdy soit une différentielle exacte en x et y est exprimée par V équation (2), et quand cette condition est satisfaite, l'équation (5) fournit Cinlégralede l'équation différentielle proposée.
Soit, comme exemple, Tcquation
(x* — 4xy — 2y«) dx -+- (y« — 4xy — î2x«) rfy = 0. On a ici
îî£=-.4x-4 =^dy * ^ dx'
Pdx = P* = --2x*y-2t/«x, Q-.^ = y»;
rintëgrale de l'équation est
g - 2x«y - 2xy« -♦- 1 =C.
Sd7. Il y a un cas remarquable où Ton reconnaît immédiatement que le premier membre de Féquation (1) est une difTérentielle exacte : c'est celui où le coefficient de dx ne renferme que x, et celui de dy que y ; l'équation est donc de la forme
(4) XdxH- Yrff/=0,
X, Y désignant respectivement des fonctions de x seul et de y seul. On dit alors que les variables sont séparées. La condition (2) est évidemment satisfaite, car DyX=D,Y=0, et d'ailleurs il suffit de poser
/Xdx-+-/Yrfy = C
pour obtenir l'intégrale générale de Pcquation (4), d'après ce qu'on a vu au n® 325. Ainsi le problème se ramène immédiatement aux quadratures. 11 est inutile d'ajouter des constantes arbitraires aux intégrales indéfinies qui figurent dans cette équation; elles se trouvent implicitement comprises dans la constante C du second membre.
Le plus souvent, les variables ne sont pas séparées dans l'équation différentielle, mais la multiplication par un facteur convenable conduit à ce résultat. Ainsi, toute équation delà forme
XiYidx-^X2Y,rfy = 0,
X«, Xa étant fonctions de x et Yi, Ys de y, divisée par le facteur YiXj , supposé différent de zéroj deviendra
-i dx + -r' dy = 0,
Aa la
et, les variables étant séparées, l'intégration se fera comme ci-dessus. Par exemple, l'équation
(1 H- y*) (1 + x) dx -+- (1 -«- x«) (i — y) dy =
prendra, par cette transformation, la forme
équation dans laquelle les variables sont séparées. Les termes lic ccUc équation s'intègrent sans diffieulté, et Ton a Tintégralc générale
arelgx + ^ '• (^ -+- a;«) -*- arctgy — -1.(1 -f- f/«) = C,
h laquelle on donne facilement la forme suivante :
arc tg ^ = 1. C, \ / \ ,
1 — xy y 1 -♦- X*
i-jj
Cl désignant une nouvelle constante arbitraire.
39§. Intégration des équations homogènes. — Lorsque la séparation j des variables ne s'effectue pas par le procédé simple qui vient d'être indiqué, on cherche à la réaliser en introduisant au lieu de x et de j, dans l'équation différentielle, deux nouvelles variables ayant avec x et y des relations convenablement choisies. C'est une nouvelle application de la méthode de substitution. Quelquefois la substitution ne porte que sur une seule des variables x, y.
Appliquons cette méthode au cas où l'équation du premier ordre
(1) Pdx-4-Qrft/ =
est homogène^ c'est-à-dire où P et Q sont des fonctions homogènes, de même degré m, par rapport à x et à y. On sait qu'une telle fonction jouit de la propriété, étant divisée par x*", de ne plus dépendre que du rapport de y à x(0. Il suffira donc de diviser toute l'équation (1) par x"* pour lui donner la forme
dx H- f 1
(\) Celte propriété suit iinmédiatcmcnt de la définition des fonctions homogènes (eh. III, ex. 19); car, si dans Téquation
?(lx,ty)z=v^V(x^y) on prend rindéterniinée / égale à ac"*, on a
— 40o — Posons, M étant une nouvelle variable,
y=:tix, d'où dy =:udx -h xdu^ et éliminons y et dy. Il vient
f (w) dx -^ fi (u) {udx -^ X du) = 0, ou
[f (m) -f- w f 1 (m)] dx-^ xîi {u) du = 0,
équation où il est faeile de séparer les variables. Supposant d*abord ï{u) -4-wfi(tf) différent de zéro, et divisant par ee facteur et par x toute réquation, on a
dx f 1 (m) du
X f(u)-¥•uî^ (u) ou, en intégrant.
l.X^K,JlM^t-r = C.
f (tt) -♦- tl fi (m)
On aura donc Tintégrale générale de l'équation proposée en effectuant l'intégration indiquée et remplaçant u par sa valeur y : x. L'hypothèse
f(w)-t-Mfi(t/) =
que nous avons laissée de côté, fournit pour u un certain nombre de valeurs constantes tio, Ui,..., qui satisfont à l'équation différentielle entre u et X, puisque u constant donne du = 0. On aura donc encore des solutions de l'équation proposée en faisant
y = t/oX, y = t/ix,...,
et ces intégrales pourront être, soit des intégrales particulières, soit des solutions singulières , ce dont on s'assurera en les comparant à l'intégrale générale.
S99. Prenons comme exemple l'équation homogène
(Ax -♦- By) dx H- (A'x + B'y) dy = 0.
P et Q sont ici du premier degré, et la transformation indiquée conduit à l'équation
[4 ^ (B -^ A') u -4- B'm«] dx-i-x (A' -♦- B'w) du = 0.
L'intégrale générale est donc
(A^ -¥• Wu) du
'•^^JâTmb
7TJ — ^î
et la quadrature à effeeluer porte sur une différentielle rationnelle; elle n^offrira donc aueunc diffîculté. Suivant que les racines de Tëquation
A -f- (B -h A') M -f. B'îi» =
seront réelles et inégales, réelles et égales ^ ou imaginaires, la forme de rintégralc sera différente. Bornons-nous au premier eas, et soient a, 6 les racines réelles de cette équation, en sorte que Ton aura
A -+. (B -h A') u -♦- B'w* = B' (u — a) (w— 6), et, par la décomposition en fractions simples,
A -♦- (B -♦- A') u -h B'ti* u — a u — 6
les constantes m et n étant déterminées par la niélliodc connue, ou parles j
équations
A' = — B' {mb H- «a), \ = m -t- n.
L'intégrale générale deviendra
ou
La; (m — a)"» {u — 6)*» = C ,
ou encore, en remplaçant u par sa valeur et passant des logarithmes aux
nombres
(y — ax)*^ (y — 6x)"x*~**-*= e^ = C,
ou enfin, en vertu de Téquation m -♦- w = i,
(y — ax)*" (y — 6x)" = C.
Telle est, sous la forme la plus simple, Fintégrale générale de Téquation proposée. Quant aux intégrales
y = ax, t/ = 6x,
que Ton obtient en prenant pour t/ les valeurs a et 6 qui annulent le trinôme par lequel on a divisé Féquation différentielle, ce sont évidemment des intégrales particulières qui correspondent à C'=0 ou à C'=oo , suivant les signes des exposants m, n. Mais si m ou n était nul. Tune de ces intégrales pourrait être une solution singulière.
