PAS DU PREMIER DEGRÉ
334. Considérons maintenant les équations du premier ordre non résolues par rapport à la dérivée qu'elles renferment. Si la dérivée n'y entre qu'à des puissances entières et positives, Féquation sera de la forme
cpi, cpa vî 9n étant, en général, des fonctions des variables x et y. Résolvant celle équation par rapport à la dérivée, on en tirera 7i valeurs de dy
et réquation (1), mise sous la forme
admettra évidemment comme solutions toutes celles des équations (2), et n'en admettra aucune autre. Les équations (2), appartenant au type étudié précédemment, s'intégreront comme il a été dit, et auront respectivement pour intégrales générales
Fi(jr,2/,C,) = 0, F,(.r,y, C.) = 0,..., F» (x, y, Cn) = 0,
Cl, Ca,."» ^'1 clant des constantes arbitraires. L'équation
(5) F, (x, y, Ci) . F.(r, y, C.) ••• F„{x, y, Cn) = 0,
qui renferme toutes les précédentes, renfermera donc toutes les intégrales particulières de l'équation (1), et sera l'intégrale générale de celle-ci. On peut remplacer par une même constante C les n constantes arbitraires Ci , Ca,... qui y entrent, sans diminuer la généralité de l'intégrale, car on ne peut satisfaire à celte équation qu'en égalant à zéro les divers facteurs Fi , Fs,... du premier membre, et il est clair que les équations
Fi(x,y,Ci) = 0, F.(x,y,C.) = 0,...
donneront exactement les mêmes solutions, soit que Ton représente par une même lettre les constantes qui y figurent, soit qu'on les représente par des lettres différentes. L'intégrale générale de l'équation (1) sera donc
F,(ar, y, C) • F.(x, y, C)...F„(x, y, C) = 0.
Ainsi réquation différentielle
\dxj
ax =
donne les deux suivantes :
dy / — du
-^ = 1/ aXy -7- = — ]/ ax.
ax ^ dx ^
dont l'intégration se fait immédiatement. On a respectivement
y = 3|/«ac'-+-C, y = — - j/ax* -f- C,
et l'intégrale générale de l'équation proposée est
(3y — 2x ]/ax — C) (3y h- 2x |/âx — C) = ,
ou, plus simplement,
(3y — C)2 — 4ax' = 0.
3S5. Lorsque l'équation différentielle ne renferme qu'une des variables, et est plus facile à résoudre par rapport à celte variable que par rapport à la dérivée, on opère comme il suit. Posons
dx et supposons l'équation donnée mise sous la forme
Nous aurons
dx = r (/)) dp, d\j = pdx = p r (p) dp, y=fpV (p) dp -♦- C,
et la valeur de y en fonelign dcp sera connue par cette quadrature. Eliminant p entre celte équation et Téquation x = ï{p), on aura l'intégrale générale avec une constante arbitraire. Ainsi, Téquation
y dx^ " dx donnera
ap
. apdp
(1 H- py
et par suite, p étant éliminé, l'intégrale générale sera
Si l'on avait, au contraire,
y — ^ iPh on en tirerait
et l'on opérerait comme ci-dessus.
S36. Si l'équation différentielle est homogène par rapport à a: et à y, on en déduit, en la divisant par une puissance convenable de x, une équation entre le rapport w de y à x, et la dérivée p de y par rapport à x. Soit
p = f{ii)
cette équation. On a d'autre part, à cause de y = ux,
dy=pdx=ixdu -^ udx, d'où l'on tire
dx du du
X p — u f (m) — u Cette équation, dans laquelle les variables sont séparées, donnera
$du i («) - «'
vt, en remplaçant u par sa valeur y : x après rintégratîon, on obtiendra rintcgrale générale de l'équation proposée. Par exemple, de l'équation
on tirera
p = udtz [/\ -+■ M*, p — M = ifc |/i -+- w*, et l'équation différentielle entre x et m sera
— = dr
^ j/TTw*
Intégrant, on trouvera
1. X rp 1. (m 4- j/l -+- w') = 1. C, équation qui se décompose en deux autres :
