a; (ti -+- j/i -+- M*) = 1. C, ou y -{- |/x' -h y' = C

et

ou

j/x»-^y«— y = C= — Cl.

L'intégrale générale sera donc

ou enfin

X* 4- SCy — C*=0.

337. Un procédé qui réussit dans l'intégration des équations d'une forme

particulière, consiste à différenticr l'équation proposée, de manière à en

éliminer l'une des variables x, y, et h former entre p et l'autre variable

une équation du premier ordre que l'on saelie intégrer. Considérons

l'équation

y = xf(p) -t- cpfp),

f et (p désignant des fonctions données de la dérivée p. Différentiant J'équation et remplaçant dy par pdx^ on a

ou bien

dx r(p) ^ 9-(/>) ^^

(//) p — Hp) p — Hp)

Cette équation Iiné«iire du premier ordre entre x et p s'intégrera par la méthode connue, et l'élimination de p entre son intégrale et Téquation proposée donnera l'intégrale générale entre a:, y, C.

S3§. L'équalion de Clairaut est un cas particulier de la précédente :

Elle donne, par différenliation, celle-ci

qui se décompose en deux autres. La première

dp .

--Î- =0 donne P = C,

dx

et en substituant cette valeur de /) dans l'équation difîérentielle, on a l'intégrale générale

y = Cx -+- cp (C),

qui représente un système de lignes droites.

La seconde

fournira au contraire une valeur de p dépendante de x, sans constante arbitraire, que l'on devra reporter dans l'équation différentielle. Cette nouvelle intégrale ne peut d'ailleurs être qu'une solution singulière, puisque l'intégrale générale, donnant pour p une valeur constante, ne saurait s'accorder avec celle-ci dans laqucllep est une fonction dex. On remarquera que cette conclusion s'accorde avec la théorie exposée au n° 324, car, pour former la fonction ^ (x,y) qui exprime la dérivée partielle en y dep, il faut différenticr partiellement par rapport à y l'équation proposée, ce qui donne

d'où

i = [x 4- cp' ip)] |,

dy ^' ^' 3P-4-(p'(p)

et l'on voit que l'équation x -h cp' (p) = rend infinie la fonction vp. On observera aussi que l'élimination de p entre l'équation de Clairaut

et l'équation x + (p'(p)=^0 conduit au même résultat que Télimination de C entre les équations

y = Cx -♦- Cp (C), = X H- cp' (C),

qui fournit Téquation de Fenveloppe des droites représentées par l'intégrale générale. Cela s'accorde encore avec les principes établis relativement aux solutions singulières.

Exercices.

Intégrer les équations suivantes :

i. (Ù.) -4^^3 = 0. R. (y-C)»-3a?(y~C)-f-2x* = 0. ,. £?!!=i l. R. (y-C)«-(arcsinV/ÏH-l/aî — ««)« = 0.