CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES

SS9. L'intégration des équations difTcrenticlles d'un ordre supérieur au premier s'appuie sur quelques principes généraux, analogues à ceux qui régissent les équations du premier ordre. Soit d'abord une équation du second ordre entre x et y, résolue par rapport à la dérivée seconde,

On peut lui substituer un système de deux équations du premier ordre, en représentant par z la dérivée première de y, car il est clair que l'équation (1) sera remplacée par les deux suivantes :

et son intégration sera ramenée à l'intégration du système (2). Considérons, au lieu du système (2), le système plus général

par lequel deux fonctions y et z de a: se trouveraient définies, et procédons comme au chapitre XXXVII. Considérons x comme l'abscisse, y et z comme les ordonnées correspondantes de deux courbes, qui doivent vérifier les équations (5). Pour une valeur Xo de x, donnons k y et z des valeurs arbitraires t/o et z©; concevons que a: passe de la valeur Xo k une valeur quelconque x par une suite d'accroissements infiniment petits Ao, Aij As,.-*» ftn i, et calculons simultanément les accroissements correspondants de y et de z, k partir des valeurs yo et Zo , au moyen des équations

Nous déicrmincrons ainsi successivement toutes les valeurs de y et dez qui irpondonl aux Vîiliitrs successives de jr, cl nous obtiendrons deux séries de points bien déterminés

Mo (a-o, yo), M, (x,, y,),..., M^-i (xh i, yn i), M (j, y); No (xq, Zo), Ni (xi, Zi),,..^ Nh i (xh i, ^«-i), N (x, z).

Joignant deux à deux les points d'une même série, nous formerons deux polygones MoM|...Mn iM, NoNi...N«__iN, qui auront leurs côtés inflniment petits, et dans lesquels le cocfTicicnl angulaire d'un côté quelconque sera déterminé par les équations (4). Lorsqu'cnsuite les éléments Ai, As,..., hn-i de Taxe des x tendront vers zéro, leur nombre n croissant indéOniment, ces deux polygones tendront respectivement à se confondre avec deux courbes déterminées, et comme les directions des côtés de ces polygones ont pour limites celles des tangentes aux deux courbes limites, il s'en suit que les coeflicicnts angulaires de celles-ci vérifieront les équations (5) : en d'autres termes, les ordonnées y ci z des courbes, limites des polygones, satisferont au système d'équations différentielles (3). La démonstration complète de celte proposition, semblable à celle que nous avons donnée dans le cas d'une équation du premier ordre entre x et y, est seulement un peu plus compliquée : nous ne la développerons pas ici. Elle suppose d'ailleurs, comme la première, que les fonctions cp, f, ainsi que leurs dérivées partielles en x, y, z, soient continues et à détermination simple dans le voisinage du système de valeurs Xo, jo, Zq.

340. Appliquons ce qui précède au système d'équations (2), cas particulier du système (5). Puisque l'élimination de z entre ces deux équations nous ramène à l'équation proposée

nous en concluons que l'une des deux courbes-limites qui vérifient les équations (2), savoir, celle dont y représente l'ordonnée, satisfait à la condition exprimée par l'équation (1). Celle-ci admet donc une intégrale. De plus, pour une valeur donnée Xo de x, nous avons choisi arbitrairement les valeurs correspondantes de y et de z, savoir, yo et z© : l'intégrale n'est donc déterminée que lorsqu'on fixe les valeurs de ces quantités, et elle doit renfermer conséquemment, pour avoir la généralité convenable, deux constantes arbitraires C et C, à l'aide desquelles on puisse^ x étant donnée

faire prendre à y cf à sa dérivée - des valeurs choisies à volonté. Géonie-

triqucment, on peut faire passer la eouibe par un point donné et lui faire

touehcr en ee point une droite donnée. CVst la ee qu'on nomme Vintégrale

générale de Téquation (1). Récipioqut ment, si l'on tiouve une iutéjçrale

de réquation (1), renftrmanl deux eonstantes C et C qui remplissent la

condition ei-dessus, on fera voir eomme au n° 524 que eetle intégrale

peut coïncider successivement avec toutes les intégrales particulières de

réquation, et qu'elle en est l'intégrale générale.

S41. Ces raisonnements s'étendent à des équations différentielles d'ordre quelconque. Une équation du troisième ordre, mise sous la forme

équivaut à trois équations du premier ordre

dy dz du ^, ,

dont les intégrales se détermineraient par une construction semblable à celle que nous avons donnée plus haut. On en conclut qu'il existe une fonction y de X, satisfaisant à l'équation du troisième ordre, renfermant trois constantes arbitraires C, C, C'qui permettent de se donner à volonté les \aleursde y, D*y, D'^r/ correspondant à une valeur donnée de x, et cette fonction de x, C, C, C" est l'intégrale générale ou complète. En général, une équation de l'ordre n^

d"y ^/ dy d''-*y\

admettra une intégrale générale avec n constantes arbitraires, irréductibles à un nombre moindre, et permettant de se donner h volonté, pour une valeur donnée de x, les valeurs de y et de ses n — 1 premières dérivées. Si une intégrale, quelle que soit la méthode qui l'a fournie, satisfait h cette dernière condition, elle sera l'intégrale générale.

Cela n'exclut pas d'ailleurs rexistcncc de certaines intégrales, non comprises dans l'intégrale générale, et que l'on nomme des solutions sitigu- Itères de l'équation différentielle. La théorie de ces solutions singulières repose sur des principes analogues à ceux que nous avons exposés au n" 324 : nous ne nous y arrêterons pas.

§ 2. ÉQtATIONS LINÉAIRES.

S49. On dit qu*une équation différentielle de Tordre n est linéaire, lorsque la fonction et ses n premières dérivées n'y entrent qu'au premier degré et ne se multiplient pas entr'cllcs. La forme d'une telle équation est celle-ci :

Xf, Xtv9 ^«9 X étant des fonctions explicites de x. Si X se réduit à zéro, l'équation devient

c'est ce que l'on nomme une équation sans second membre : l'équation (i) est une équation linéaire avec second membre. Nous nous occuperons d'abord de l'équation (â).

84S. Propriétés de l'équation sans second membre, I. Une intégrale quelconque yi de l'équation (2), étant multipliée par une constante arbitraire Cl, donne une nouvelle intégrale dj^i de cette équation.

Car si l'on fait y ==Ciyi dans le premier membre de l'équation (2), on obtient le même résultat que si l'on faisait t/ = yi, et que l'on multipliât tous les termes par Ci : yi étant une intégrale, ce résultat est nul.

II. La somme yi-^y* de deux intégrales de l'équation (2), est une nouvelle intégrale de cette équation.

En effet, on a en général

dx^ dx* dx*

de sorte que si l'on fait y =yi 4- yi dans le premier membre de l'équation (2), on aura la somme des résultats obtenus en y remplaçant successivement y par yi et par t/99 résultats nuls puisque y^ et y^ sont des intégrales de l'équation (2).

On conclut immédiatement de là que si yi, yt, ys sont des intégrales de l'équation (2), leur somme yi -♦- yt -4- J/s sera encore une intégrale; et, en général, que la somme d'un nombre quelconque d'intégrales de l'équation sans second membre constitue une^integrale nouvelle.

III. De là rësiiltc une propriété très-remarquable de Tëquation (2). Supposons que Ton sache trouver n intégrales particulières distinctes, yi9y*y»9yn9 de cette équation : en les multipliant respectivement par des constantes arbitraires Gi, Cs,.**» C», on aura encore des solutions de réquation différentielle, d'après ce qui précède (I), et la somme de ces n intégrales^ satisfaisant encore h l'équation différentielle et renfermant n constantes arbitraires, en sera l'intégrale générale. On aura donc, pour rintégrale générale de l'équation sans second membre^

(3) y = Ciyi-*- Cat/i H nC^y»,

yi9 y»»*** yn étant des solutions de cette équation, de sorte que la recherche de l'intégrale générale est ramenée à celle de n intégrales particulières. Ces n intégrales yi, ys,.-*9 t/n doivent toutefois satisfaire à une condition, pour que la formule (5) donne l'intégrale générale : c'est que l'on puisse déterminer les n constantes Ci, Cs,..., Cn de manière à ce que y et ses n — i premières dérivées reçoivent les valeurs arbitraires, pour une valeur donnée de x (541). Pour cela, il faut et il suffit que ces n intégrales ne soient liées entr'elles par aucune relation de la forme

(4) «ly 1 -H «af/j -♦-..:-♦- OLnyn = 0,

ai, «sv» ^« étant des constantes déterminées. En effet, si l'on différentie n — 1 fois l'équation (5) pour former D^y, D',y,..., D'*"*,y, et si l'on exprime la condition pour que les n équations ainsi obtenues fournissent des valeurs finies et déterminées de Ci, Cs,.**» ^n? quelques valeurs qu'on attribue à x, y, D,y,..., D'-'^y, on verra aussitôt que c'est là la condition nécessaire et suffisante pour que l'on ne puisse satisfaire à l'équation (4) et à ses n — i premières dérivées par rapport à x, pour une valeur quelconque de X, que par le système de valeurs des coeflicients

ai = 0, ^8 = 0,..., a» ==0(0.

844. — IV. On peut d'ailleurs s'assurer que l'équation (2) admet toujours n intégrales particulières remplissant la condition qui vient d'être énoncée, et propres, par conséquent, à former l'intégrale générale au moyen de la formule (5). En effet, supposons que l'équation (2) n'admette queifc intégrales particulières ne vérifiant aucune équation de la forme (4), fc étant < n. Soient yi, ys,..., yk ces intégrales : toute autre intégrale

(i) Voir, pour plus de dcvcloppements, les Bulletins de l'Académie de Belgique, £-« série, T. XI.

particulière y sera donc liëc aux précédentes par une équation delà forme

ai, Al,.**) oLii étant des coefficients convenablement choisis; ce qui revient & dire que le second membre de cette équation est l'intégrale générale de réquation (2), si Ton y considère ai, as,..., a» comme des constantes arbitraires. Cette intégrale générale ne renfermerait donc que k constantes arbitraires, ce qui est impossible.

Il suit évidemment de là que l'intégrale générale de Téquation (2) est toujours de la forme

(3) y = Ciyi -f- Cay» h 1- Cy,,,

et en outre, que Féquation (2) n'admet aucune solution singulière, puisque s'il en existait une, rien ne s'opposerait à ce que l'on choisît cette solution pour la fonction yi, dans la formule (5), en complétant l'intégrale générale par» — \ intégrales particulières ytv««5y*« L'hypothèse Ci=4, C«=0,..., C» = ferait rentrer la solution singulière dans l'intégrale générale.

Propriétés de l'éqaation linéaire ayec second membre.

845. — I. Si ton connaît Vintégrale générale (5) de l'équation sans second membre, on en déduira l'intégrale générale de l'équation avec second membre par n quadratures.

Soit

(3) y = Ciyi -4- Ciyt h 1- Cny*

l'intégrale de l'équation (2). On peut évidemment admettre que cette expression représente également l'intégrale générale de l'équation (i), pourvu que l'on remplace les n constantes Ci,..., C» par des fonctions de x convenablement choisies. Et comme nous avons ainsi n fonctions indéterminées Cl, Ci,..., Cn à notre disposition, nous pourrons même les assujettir à satisfaire à n — 1 conditions données arbitrairement, la «™" étant la condition que y soit l'intégrale de l'équation (i). Nous pouvons, par exemple, exiger que les n — 1 premières dérivées de y conservent la même forme, dans l'hypothèse où Ci,..., C, sont variables, que si ces quantités restaient constantes. Nous aurons ainsi n — 1 équations; la dérivée w"« de y devra vérifier l'équation (1), ce qui donnera la n™® équation achevant de déterminer les fonctions Ci, Câ,..., C».

Différcntions n fois, dans ces conditions, la valeur de y donnée par

rëquation (5) ; nous aurons

dx dx

«Py =:C ^* dx* dx*

rfy»

d^ dx*

Cn -:^ — ^

d.-ly d,-.y,

d-y dx'

rfar"-*

dx"-'

dx"-* '

à'Vi

dx" dx" dx."

d"-'y, dCi d"-'y, dC, dx"-' dx dx"-' dx

d"-'y, dC„

rfx"~* dx

Substituons ces valeurs de y et de ses dérivées dans Féquation avee second membre : le coefficient de Ci, après cette substitution, sera

dyi

dx* dx""*

• ■+■ Xfi i

Xnyï,

et se réduira identiquement à zéro, puisque ^i est une intégrale de Téquatien (2). Il en sera de même des cocfTicients de Gs,.**» Cn, et, par suite, l'équation se réduira à

d«-*yidCi d"-*y, de, d^-^yndCn „

dx*»~* dx dx"""* dx

dx""* dx

Joignons à cette équation, qui exprime que Féquation (5) est l'intégrale de réquation (1), les n — 1 équations résultant de la conservation des formes des n — 1 premières dérivées. Nous aurons le système

dCi dx

dC, ^ y"d^=^'

dy^ dCi dx dx

dt/a dCs dx dx

dyndCn

dx dx '

d"-*vi de, d"-*i/i dC,

dx"~* dx dx"~* dx

d"-*yi dCi d"-*y2 dCa

dx"~' dx dx""* dx

d"--«yn dCn dx""* dx

d"-*t/n dC

dji"~* dx

Ces n équations étant du premier degré par rapport aux dérivées de Ci, Ci,... Cn, on cil tirera sans didieulté les valeurs de ces dérivées, en fonction explicite de la variable x, et Ton aura

d'où, par de simples quadratures,

Ci = Hi -+-/(pi(a;)dx, C2=Ha-+-/(pa(j)djF,..., Cn = Hn-t-y(pn(a:)djr,

Hi, Hs,..., H„ étant des constantes arbitraires. Les fonctions Ci, Ct,..., Cn étant déterminées, on les reportera dans la formule (3), et l'on aura l'intégrale générale de Téquation (4), avec n constantes arbitraires :

y=yi[HiH-/(p,(r)f/.r]H-2/s[!Is-i-/(pa(.c)(/x]-4-...4-yn[H„-H/<pn(ap)dr].

Bemarque, — La résolution des équations (5) donnera toujours pour rfCi, rfCi,..., dCn des valeurs finies et déterminées, car la condition pour qu'il en soit ainsi est précisément la même qui exprime que l'on peut disposer des constantes Ci, Ca,..., C», dans l'équation (3), de manière à attribuer à y, Dxt/,..., D^-^y, des valeurs arbitrairement choisies, c'est-àdire que Cji/i -+- Cays -*-••-*- C»y» est vraiment l'intégrale générale de l'équation sans second membre : ce que nous avons effectivement admis.

La méthode que nous avons suivie pour tirer, de l'intégrale générale de l'équation (2), celle de l'équation (I), s'appelle la méthode de la variation des constantes arbitraires.

S46. — n. Si l'on connaît une intégrale particulière Y de l'équation avec second membre, on formera son intégrale générale en ajoutant à cette fonction Y, l'intégrale générale de l'équation sans second membre.

En effet, on peut toujours désigner par Y-+-jz l'intégrale gcnéraie de l'équation (I), sauf à déterminer convenablement z. Or, si Ton remplace y par Y-i-z dans l'équation (I), on aura

et cette équation se réduit évidemment, Y étant supposé satisfaire à l'équation (1), à celle-ci :

I ^ui doit déterminer z. Or, celle-ci n*est autre que Tcquation (2), ou Ton femplacerait y par z : la fonction cherchée z, qui, ajoutée à Y, donnerait riotégrale de Féquation (1), est donc précisément Tintégrale générale de l'équation (2).

La connaissance d'une intégrale particulière de Féquation avec second membre ramène donc la recherche de son intégrale générale à celle de rintégrale de Féquation sans second membre.

34T. — III. Si l'on connaît une intégrale particulière yi de Féquation SBDs second membre, on peut abaisser d'une unité l'ordre de l'équation avec ou sans second membre, sans qu'elle cesse d'être linéaire.

Soit y=yiz Fintégrale générale de l'équation (i). Nous aurons par différentiation

dy dy, dz d^y d«y, dz dy^ dH

dx dx "* dx dx* ox' dx dx dx*

rf"v d*!/« dz d"~*t/« d*z

--i = jj --i- -k-n -r- j — ^ H -HVi -1 —

ax* ax* dx ax"~* ax*

Substituant ces valeurs de y et de ses dérivées dans le premier membre de Féquation (i), on verra immédiatement que la somme des termes affectés du facteur z se réduit à zéro, parce que yi est, par hypothèse, une fonction qui satisfait à Féquation sans second membre. L'équation (1) se réduira donc à la forme

d»z ^d'^^z ^dz ^

Vl-T h P T — 7 H h S j- =X,

^ dx* dx*-* dx

P,..., S étant des fonctions connues de x. Posant

-— ==t*, ou z = C -^ f udx^

et divisant toute Féquation par yi, on aura en u une équation linéaire de l'ordre n — I. La valeur de z se déduirait ensuite de celle de u par une simple quadrature, et l'on aurait enfin

y = Cyi-«-yi/tidx.