ÉQUATIONS LINÉAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS

848. Lorsque les coefficients Xi, Xs,..., Xn de l'équation linéaire se réduisent à des constantes ai, as,..., any on forme facilement Fintégrale

générale de coltc équation. Considérons d'abord Téquation sans second X> jd membre

^"y d"-h/ du

et chcrclions à y satisfaire par une expression de la forme y=e'''i r étante M~m.n{ une constaïile. Substituant cette valeur de y dans le premier membre dcL> Jtjdc réquation (i), et observant que

rf"e*

nous trouverons

/«v d\e''' rf^-'.e''' d.e^'

(2) -—. h a. — — T- H -^ Qn-i —7 — -+- a„c''' = e'^'f r),

en posant, pour abréger,

(3) f (r) = r* 4- ttjr*"* h -+- On-ir ■+- a».

Donc, pour que Téquation (1) soit satisfaite, il faut et il suflGl que ({rj'^^ ^0 soit nul, c'est-à-dire que r soit une des racines de Téquation

Celte équation de degré n, qu'on appelle Véquaiion auxiliaire, adme*-?:^ ^iH n racines que nous désignerons par r©, rj, Ta,..., r», et que nous su ppose--^^ serons d'abord réelles et inégales. Nous aurons donc n intégrales particulières de l'équation (1), savoir

y^ = e'^^% ys = C'-i',..., y„ = e'--»,

et ces intégrales satisferont à la condition exposée plus haut (343), c'est-à -; dire qu'elles ne seront liées entr'elles par aucune relation de la forme

«le*"!* H- a^C^' -H ••• -♦- a„e*""' = 0,

X étant quelconque. En effet, si Ton différentie n — 1 fois celte équatioi et si l'on pose a,e''' = i/,-, on trouve le système

rjMi -+- rai/j -+-••.-♦- rnt/n = 0,

qui devrait être vérifié quel que soit x si l'équation supposée avait lieu.

Or, on sait(0 qu'un tel système d'équations ne peut être satisfait, les quantités Ti, Ti,..., Vn étant inégales, que par les valeurs t/i = 0, 1/^:^0,..., «n = 0, et par suite, ai=r(), «2 = 0,..., a^ = 0.

D'après cela, l'intégrale générale de l'équation (!) sera donnée parla la formule

(4) t/ = C,e'-«' -h Cae'-i' -*-••.-!- Cne*"-',

Cl, Gs,..., G„ étant les constantes arbitraires.

849. Si l'équation auxiliaire admettait des racines imaginaires, ce qui précède subsisterait; car, soit ri une telle racine, l'expression e*'»' continuera de satisfaire à l'équation différentielle. 11 suffit, pour s'en assurer, d'observer que la seule propriété de cette fonction sur laquelle nous nous sommes appuyés, savoir

D;re'"»' = rie*"»',

subsiste' lorsque n est imaginaire (2). Mais, pour obtenir l'intégrale générale sous forme réelle, on remarquera que les racines imaginaires de Péquation auxiliaire sont conjuguées deux a deux, en sorte que si l'on a

Ti = a -+- P [/ — i, on aura r% =,a — (3 ^ — 1, et par suite

= c"' [Ci (cos (3x -f- y — 1 sin [Sx) h- Ca (cos {3x — [/ — 1 sin j3x)]

= e"* (A cos j3x -t- B sin j3x),

en posant Ci -4- Ct = A, (Ci — Ca) [/ — \ = B, et regardant A et B comme des constantes arbitraires réelles. Ainsi, chaque couple de racines imaginaires ad=P|/-—1 de l'équation f(r)=0, donnera l'intégrale particulière réelle

e*' (A cos ÇfX -k- B sin (îx),

renfermant deux constantes arbitraires, et remplaçant conséquemment dans l'équation (4) deux intégrales particulières déduites de racines réelles.

(1) Voir VAlgèbre de M. Bertrand, T. II, p. 338.

(2) On a, en effet, diaprés la définition de la fonction e* quand z est imaginaire (97),

d •fi'"' e''('+ ^*) — e* e*" A« — \

— ; — = lim =r lim c*"* = lim c*"'

(to Lx Ax

850. Supposons que Tcquation auxiliaire ait des racines égales, et soit, par exemple, ri = ri. Le raisonnement par lequel nous avons prouvé que la formule (4) donne Tintégrale générale ne subsiste plus; du reste, cette formule devient

y = (Ci -♦- C») e^• -♦- C»' H h Cne*"-',

et y, ne renfermant plus que n — 1 constantes arbitraires, ne peut être l'intëgralc générale. Mais nous trouverons une nouvelle intégrale particulière, propre à remplacer celle qui a disparu, en observant que l'équation (2) a lieu quelle que soit la valeur de r, et que, si Ton dérive ses deux membres par rapport à r, on aura une nouvelle identité. Intervertissant Tordre des différentiations dans le premier membre, et remarquant que Dr6'^'=xe*^, on aura

rf^.xe" rf'»"*.xe''' d.xe''' ^, . .,, ,

— ; H ai — ; — H««'-t-an-i — ; \- Qn xe*''=a:e*''f (r) 4-e*''f (r).

c/jc" rfx"-* dx \ f \ i

Mais puisque, par hypothèse, ri est une racine double de réquatîoo f(r)=0, on a

f(ri) = 0, f(ri) = 0;

donc, le premier membre s'annule pour r=ri, donc y = xe^^' est une intégrale de l'équation proposée. La racine double n correspond donc à

une intégrale

Clé»*" -4- Cxe»"'' = (Cl -+- dx) e*""

de l'équation (i), et l'intégrale générale sera, avec n constantes arbitraires,

y == (Cl -♦- Cax) e»-" -+- C^e"^ h h CnC-'.

On verrait, de même, que si nest une racine triple de l'équation f(r)=0,

ou si r5=ri=ri, y=x'e'''' sera une intégrale de l'équation (4), à cause

des équations

f(n) = 0, r(ri) = 0, r(ri) = 0,

et l'intégrale particulière

y = (Cl -f- CsX -+- CsX») e»-''

remplacera les intégrales correspondantes aux racines ri, ri, rs dans l'équation (4). Et ainsi de suite.

Cette méthode s'appliqunnt aux racines imaginaires multiples aussi bien qu'aux racines réelles, si Téquation auxiliaire admet, par exemple, les

racines doubles conjuguées a=bj3j/ — i, les termes correspondants dans

rintëgrale gënéralc seront

c*' [(Al -+- Aix) cos (3x -♦- (Bi -♦- Bax) sin j3x], Ai, As, El, Es ëtant des constantes arbitaires.

861. Considérons maintenant Téquation linéaire avce second membre

et examinons d'abord deux cas particuliers.

1* Les coefficients ai, as,..., On sont nuls, et Téquation à intégrer est

L'intégrale générale de l'équation sans second membre est évidemment

y = Cl H- C«x -^ ... -i- CnX"-* ;

on a une intégrale particulière Y do Téquation proposée en effectuant n intégrations successives sur la fonction X, sans introduire de constantes arbitraires. Ou aura donc

y = Ci -+- CsX H h C„x»""* -\' f dx f dx,.. f\dx

pour rintégrale générale cherchée.

^ Si le second membre X de Téquation (6) se réduit à une constante a, il suffira de poser

pour avoir en z une équation linéaire sans second membre.

Revenant au cas général, appliquons la méthode de la variation des constantes. L^équation sans second membre aura pour intégrale générale, comme on sait,

y=:Cie*"«' -4- CsCi' -^ ••• + Cne*""',

n, Ts,..., r» étant les racines, réelles et inégales, de Téquation auxiliaire f (r) = 0. Le système d'équations (5) du n*» 345 devient ici, évidemment,

en posant généralement -7-^ e''»' = m,,

iii -4- t/s H h t/» = 0,

riWi -♦- rsWs -+-•••-*- rnti» = ,

Tl^^'e/l -+- rs^^'l/s 4- ••• -H Vn^'^^Un^ 0,

ri"~*Mi -H rs^-^Ms -♦-•••-♦- rn"~*Wn = X.

Or, on sail(0 qu'un tel système d'équations donne pour Finconnue t/, lajs* Sa valeur

{ri — fi) •• (r. — r,i) (r, — r,+i). • .(r, — r^) f (r.) d'où

rfx f'(r,) '

d'où, en intégrant, et mettant en évidence la constante arbitraire H„

C, = H, -^ —- - fXe^i'dx.

L'intégrale générale de l'équation (C) s'obtiendra donc en remplaçant C par celte valeur dans l'intégrale de l'équation sans second membre,

sera

y = i\r.]^X,^J^fXe-''d.'^

Il est bon d'observer que, dans certains cas, on détermine faeilemeo V .sr^Dt uncinlégrale particulière de réquation (G), et qu'il suffit alors d'appliquecHi-^r le tbéorèmc du n° 540, et d'ajouter cette intégrale à l'intégrale générale ^Ele de l'équation sans second membre, pour avoir celle de l'équation (6).

Si l'équation auxiliaire présentait des racines imaginaires ou des racioe^^^ws égales, il faudrait appliquer la méthode de la variation des eonstantes^^ s, après avoir mis l'intégrale de l'équation sans second membre sous la form .jHr^ie qui convient à la nature des racines de l'équation f (r) = 0.

Exercices.

Equations à coefficients constants sans second membre :

da;* dx* dx^ dxr dx

R. y=:Cje**-he»*(Acos2aî4-Bsin2x)-*-c**(A,cosa;H-B, sin»).

d*u S. ----^aV=0. R. y=:A cosax4-Bsin aaj.

dx*

(i) Bertrand, loc. cit.

4L. -^— oV=0. R. y=CiC««-^e « / A cos — | HBsin— |- 1-

rfac* (te* do?* d»

R. y = (Cl -^ Cjoc) c»« -4- c* ( A cos 2aj -4- B sin 2a;). •• 3""S""S"*"^ = ^- "^ y = (C,+C,a?)e'^C5e-«.

R. y=:C^é'^-h Cje-'^-h (A cos 2a?V/2 -^ B sin 2^1/2).

«. ^r^ + 2n» — ^ -♦- n*y = 0. R. y = (Ci-+-Cjar) cos wa?H- (C5-4-C4ap) sin «a?.

0»* oar

Application de la méthode de variation des constantes :

dar dx

R. y = Cie««-^Cj,c««-4-C5C-»«'-^^

d* v dv c"^

dx» • daî -- '— • '• y i" -^-8- ^(w-h3a)(m— 2o)

Intégration des équations avec second membre par la recherche d*une intégrale particulière (3^) :

dx* dx

H. On cherche une intégrale de la forme Y=aa; + ^, ce qui conduit à Péquation , 2a-H2(aaî-+-^)=a?,

'>^ sorte que Ton a Tintégrale particulière

I ^^"^il suffit d*ajouter à Tintégrale générale de Téquation sans second membre. On trouve

y =r e""* (A cos a; -H B sin x) h — •

dafi dx* dx R. y = C|C«-4-C(Acos2a;-HBsin2a;) — -^ — ^««H- j^oî-Hg^-

iS. — =f-Hy = 2cosmjp-4-3siiu«x. — On cherche une intégrale particulière de c/ar*

la forme acos wx-+- ,9sin wx; a et ,9 sont déterminés par deux équations, et l'on trouve

^ . 2 cos iwa? -4- 3 sin mx y = A cos oc + B sm a; H i 5 •

rf"y d"-»y n{n — \) .d^-*y . ^.dy

fmx

R. y=zc«'(C,-+-C,a;-hC3X*H hC,ir"-*)4-

(m — «)" Équations à coefficients variables :

^ dar ax

Posant y=(a;4-«)'', on trouve l'équation auxiliaire

,.(r— I) — 4r-f.6 = 0, ou r»— 5r-H6 = 0, donnant pour r deux valeurs convenables.

Généraliser.