SUR LA CONVERGENCE DES SÉRIES
Considérons deux séries à termes positifs
(2) Vo-i-v,-*- — -i-v»-4-".;
f t, à partir d'une certaine valeur de n, on a constamment
et si la série (1) est convergente^ la série (2) sera convergente. En effet, on aura visiblement
et la série (2) aura tous ses termes, à partir du n+l'»", inférieurs aux termes correspondants de la série convergente
v„ "il
elle sera donc convergente (20, IH). On démontrerait de même que, si la série (t) est divergente^ et si Von a constamment
Vu Un
la série (2) sera aussi divergente,
TuÉORBMB I. — Soit tt„= f (w) le terme général d'aune série; si^ à partir d'une valeur entière a dexyla fonction f (x) est positive et décroit constamment et indéfiniment quand x devient infini^ la série sera convergente ou divergente selon que l'intégrale
(a) \ {{x) dx
aura une valeur finie ou infinie.
Construisons la courbe y=f(a:),-ct menons les ordonncds correspondantes aux abscisses a: = a, x=sa-h\y.x=.a-\-2,,..y a?a=sn. Ln somme dos aires des rectangles intérieurs qui ont pour btises les portions de Taxe des x comprises entre ces ordonnées, et pour hauteurs respectives les ordonnées f(a-*-l), f(a-h2),..., f(n), savoir
f(o-+.i) +f(a-i-2)H Hf(w),
est évidemment plus petite que Paire de la courbe comprise entre les ordonnées f(rt) et f («). Or, dans la première hypothèse, cette aire tend vers" ifnc limite finie, exprimée par l'intégrale définie (a), quand n croît indéfiniment : donc la somme ci-dessus, qui n*esl autre que Wo+i-+- ^o+î -H •••-+- m„, tend vers une limite finie.
Si, au contraire, l'intégrale (a) est infiaje, on considérera la somme des rectangles extcriews y qui ont les mêmes bases, et qui oiit pour hauteurs f(«), f(rt-t- I),-.., f (w — i).
Celte somme Wa-+-Wn4-|H Hu^-i sera évidemment' plus grande que Paire de la
courbe comprise entre les ordonnées f(rt) et f(/»), et puiscpie celle ci croît indéfiniment avec n, il en sera de même de la somme dcb termes de la série.
Corollaire. — La séria
est convergente si la constante fiest ^ i, divergente <t /assI ou si i^ est <1. — En effet, on a ici
J W «=\ ^ = — TZlh^"! ' •'a •'.a ' L Jo
expression qui est finie ou infinie selon que /* — 1 est > ou <0. Si /* = 1, on a
On ferait voir, par le même raisonnement, que les séries qui ont respectivement pour termes généraux
n(l.N)/* ni. n(l.l.n)/*
sont convergentes si /x> 1, divergentes si /*:= 1 ou /* <1. TiiÉORÈUE II. — Si, dans la série à termes positifs
le rapport d'aw teriti^ au précédent tend vers l*unUéy en restant inférieur à cette limite^ de sorte que Von ait, a tendant vers zéro,
Un 1 -4- a
la série (1) sera convergente ou divergente suivant que la limite de *<a sera supérieure ou inféiieure à funité.
d'où
Posons, z désignant une quantité qui varie avec ti,
z = — '-^ — , litn z =5 tim -t-t- = /«»» wa (26).
Dans la première hypothèse, lim nx est supérieur à Punité ; z sera donc, à partir d^une certaine valeur de n, constamment plus grand qu*une constante /a^I. Ou aura donc
w» '"" y» -t- I / y» -h ly (n -+-
Mais la série qui a pour terme général wf^ est cunvergenle, u étant >!; donc, diaprés le théorème énoncé au commencement de cette AW, la série (I) sera aussi convergente.
Dans le second cas, on aura au contraire /tmz^l, z sera donc constamment inférieur à une quantité /a< I, donc on aura
et II série qui a pour terme général fO** étant divergente puisque /*<!, ïa série (i) sera aussi divergente.
Théorème U\. — S», dans le cas du théorème précédent^ on a précfsénwnt lim nx=iy on posera na=ri-H^3, /5 tendant vers zéro. La série (I) nera convergente ou divergente, suiiHint que ^ I. n tendra vers une f imite supérieure ou inférieure h V uni té.
Posons d^abord, at' et t désignant des quantités qui tendent évidemment vers zéro.
f . • i . I.(mh-I) ,
et faisons encore, z étant variable avec n.
tVH \ n r l.n T i*H ~ I -Ha """n-hl Ll.(n-+-i)J
Nous tirerons de là
-=(iH-;)(lH-.).,
Mais on a d^ailleurs
na. — i
d'où
a' na — i 1. n j3l. w
On voit facilement que le dénominateur de cette expression tend vers Tunité, n croissant indëfîniment, d'où l'on a
Ihn — . = lim 2 = Uni ^ l. ».
Gela posé, si jSl.n tend vers une limite supérieure à l'un'tc, z finira par dépasser constamment une certaine quantité /^^ 1; on aura donc
t/n ^(n-+-1)Ll.(n-+-i)]/* et comme la série dont le terme général est
est convergente, (x étant ^1} la série (1) sera convergente. On montrerait, par un raisonnement semblable, que si Uni ^\.n est •^ S, la série (I) sera divergente.
Ce théorème laisse indécise lu question de convergence si Um^\.n=z\\ mais on démontrerait, par une série de raisonnements analogues aux précédents, que si l'on fait
le série (1) sera convergente ou divergente suivant que l'on aura
/myl.l.n>l ou //myl.l. n<l.
Prenons pour application du théorème II k série
dont le terme général est
On a ici
Un^\ (2n-^l)* (2n -4- 2) (2n -♦- 3)
Un "" (2n -H 2) (2n -*- 3) ' "*"""" (2n-*-l)« '
Donc
l:i sjîrîo est convergente.
On déduit farileiiient ties throrômos U cl III un bcim ihrorènie de Gauss sur l:i convergence des séries CO.
(La :Yo/t' //, concernant Pi'xistence di la dérivée dnns les fonctions continues et la contiiinîté de celte dérivée, cxigcruil des développements étendus, dépa.ss;iiil les liiniles qui n^uis sont imposées, pour élre trjiitée avec la ligueur convensd»Ie. Aous la supprimerons done, nous horuiinl à renvoyer au mémoire de M. Liininrle sur celle question (*), tout en pensant cfue sa démunslratifui pourrait être complétée sur certains points et simplifiée sin* d'autres )
C; Commentai ioncs Socielatis rcgiœ Goltingensis rcccntiures^ t II. — Gauss' Werke^ t. III (*) iMémoires de l'Académie royale de titUgiquCj t. XXIV, 18;i?>.
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