V. La relation

cotx = tgQ — xj

combinée avec la règle III, donne

ci. cot X

=: ci. tgf X j= ^ ^ '

^ ^ cos' ( ~ X )

ou bien

' ci. cot X = —

sin*x

L'c X = sec I - — X 1

— 7o — VI. Enfin, la relation

COSC(

donne de mcme

rf. cosec x = rf. scc|^ — xj = tg/- — ^j'^^^lâ — ^)^(9 — ^)'

d. cosec. jr = -^ cot X cosec xdx.

5S. Fonction exponentielle. Posons

d*où

x = log,y.

On a donc, d'après la formule du n" 53,

dx = — ^ 5

.yi.A

d'où l'on tire, en remplaçant y par sa valeur,

dy = (/. A' '.= A'I. A(/x.

Dans le cas particulier où A est égal à e, LA est l'unité; on a conséquemmcnt

d. e* = e'dx.

La fonction e* jouit donc de la propriété d'être égale à sa propre dérivée.

5G. Fonctions circulaires inverses. — I. Appliquons la même méthode à la recherche des dérivées de arc sin x, arc cos x, etc. Si nous posons d'abord

y = arcsin x, nous en déduirons

X = sin y, dx = cos y dx, d'où

, djc

dy =

cos y Or, pour exprimer dy en fonction de x seul, il suffît de remarquer que

cos î/ = d= i/i — sin*y = ± j/i — x*;

il vient donc, enfin,

a. arc sin x == db

Le double signe dont cette expression est affectée résulte de ce que la fonction arc sin x est à détermination multiple, car il y a une infinité d'arcs qui correspondent à un sinus donné, et parmi ces arcs, les uns ont un cosinus positif, les autres un cosinus négatif. Pour reconnaître immédiatement le signe que Ton doit prendre, il suffit de voir si, dans le quadrant où y varie. Tare y et le sinus x croissent ensemble ou varient en

dti sens contraire : on sait, en effet , que la dérivée -j- , positive dans le

premier cas, est négative dans le second (4i, III).

Au reste, pour achever de déterminer la fonction arc sin x, il convient de fixer la valeur qu'elle doit avoir pour une valeur donnée de x : car, comme elle doit varier d'une manière continue avec x, elle n'admet plus alors qu'une seule valeur pour chaque valeur de x. Habituellement, et & moins de stipulation contraire, on suppose que la fonction arc sin x soit

assujétie à s'annuler pour x=0 : y est alors compris entre =b -, et l'on a

a. arc sin x =

l/l— x« II. Soit ensuite

y = arctgx, d'où x = tgy; on aura, d'après ce qui précède (54, III),

d'où

dx = — f-, cos'y

;nfin

dy =

cos^

donc c

y ' ax

-^-tg*y

d, arc tg X =

l-HX*

Soit

encore

= arc sec x ;

X = sec y.

d'où

dx— tgy

sec y dy.

d*où

dy =

Mais on a

d'où enfin

tg y sec y sccy = x, tgy=dn/x«- i,

a. arc sec a? = ±:

xf/x* — 1

Le signe du radical dépend des limites entre lesquelles varie arc sec x : ordinairement, on prend le signe -+- , parce qu'on suppose arc sec i — 0, Des raisonnements semblables conduisent aux formules

d. arc cos X = =p

d. arc cos a; = =p

j d. arc cot a? = ,

Au reste, on voit sans peine que arcsinx, arccosx, donnent une somme constante, donc leurs difTërenticlIes doivent être égales et de sienes contraires; et de même pour les autres.

Nous donnons ici le tableau des diflFérentielles des fonctions simples :

d. (rt :t a?) = ^ rfo? ,

d. aî»=raaî«— *(i»,

dx dA.x= — )

i dx d.\ogx=--,

d.A« = A»l.Adaj, d. e* = e*dx ,

d. sin X = cos xdx ,

d.tgaî= — -— , cos* X

d. sec a; = tg a; sec a? dx.

d.cosx = —.siaxdx.

d. cot X =

sin*aj

d, cosec x = — cot a? coscc a?cto,

d. arc sin a? =

j/l-aj»

d. arc tg a; = ,

d. arc sec a? =

d. arc cos a; = —

d. arc cot a? = —

|/i-aj«

da; 1-t-a;*'

d. arc cosec a; = —

da;

Il est à peine nécessaire d'observer qu'il suffirait, pour tirer de ces formules les dérivées des fonctions, de diviser leurs différentielles par dx. Ainsi l'on aurait

D^ lofi X = — -r > D;r tff X =

j-l.A cos*a;

etc.

§ 2. DIFFÉRENTIELLE d'uNE FONCTION EXPLICITE QUELCONQUE.

58. Les différentielles des fonctions simples d'une variable x étant connues, il sera facile de trouver la différentielle de toute fonction explicite de ar, si compliquée qu'elle soit, pourvu qu'il n'y entre que les symboles des opérations qui constituent les fonctions simples considérées jusqu'ici.

En effet, par l'introduction de variables auxiliaires, la fonction proposée deviendra une fonction de plusieurs variables dépendantes de a?, et sa différentielle sera donnée par le théorème général (48) 'en fonction des différentielles de ces variables. En opérant de la même manière sur celles-ci, on finira par être ramené à la différentiation de fonctions simples de x; puis, éliminant les variables auxiliaires et leurs différentielles, ce qui se fera sans difficulté, on obtiendra la différentielle de la fonction proposée, exprimée au moyen de la variable x et de sa différentielle dx. Pour obtenir la dérivée de la fonction, il suffira de diviser par dx.

Exemples. i° Soit

y=l.tangx

la fonction dont on cherche la différentielle. Posons

tgx=z, y = hz;

les formules du tableau nous donneront

, dz , dx

dy= — > az =

z cos*x

et en éliminant z et dz,

dx dx

dy^=d.],{gx =

tgxcos'o; sina: cosx

ce qui est la différentielle cherchée.

2® Soit encore

a, 6, nt, n étant des constantes. Faisant d^abord

on a

dy = mz^-'Ulz,

Soient, en outre,

les règles établies plus haut donneront

dz = 6rfw, di* = nx'-^rfx; d*où enfin, éliminant z, e/z, t^, (/«/, on trouvera

dy = ci. (a -i- fia:")"' = inn6 (o -♦- 6x")'"-'x"~'dx.

59. On arrive rapidement, avec un peu d'exercice, à se dispenser d'écrire les lettres z, n,... qui représentent les fonctions plus simples dans lesquelles on décompose la fonction donnée^ et à faire mentalement cette série de substitutions. Soit à différentier

y=arctg

oh regardera ^ comme une variable nouvelle, égale au rapport de

deux autres, et en appliquant les règles établies précédemment pour différcntier arc tg x, m : 1?, x', on aura

Vi— xV

/ 2x Y Vi— xV

(iH-x«)2c/x 2(/x

d'où enfin

2x 2rfx

Quand on a à différentier une fonction compliquée de radicaux, il est souvent plus commode de remplacer ceux-ci par les exposants fractionnaires correspondants, et d'appliquer la règle pour différentier les puis?* sances. Soit

y == |/ X -»- |/rT~x* == l^x -I- (i -♦- x*)*J*.

On aura

rfy == i[x H- (I -♦- x«)*]"« rf[x -♦- (1 -♦- rrvj

iyx -*- |/4 -t-x*

otx.

Si la fonction à différentier est le produit de plusieurs fonctions élevées à des puissances positives ou négatives, on simplifie le calcul en prenant d'abord le logarithme de la fonction, et appliquant la règle qui sert à différentier un logarithme.

Soit

on aura

Egalant les différentielles des deux membres, on a

dy Q d,x 5 dx 11 «te

y X — 2 2x — 1 Tx — s'

ou, en réduisant au même dénominateur,

dy X* — 7x H- 1

y (x — 2)(x— l)(x — 3) Remplaçant y par sa valeur, il vient

dy = ^V^^^ ^3(x«-7x-4-l)rfx.

Soit encore h différentier une expression de la forme

u civ étant des fonctions dontiées de x. On appliquera la règle

dy = duy -t- dvy ; V étant constant dans la première différentiation, et u dans la seconde,

on aura, par les règles connues,

duy = vu*~*rfw, d„y = W^l . wdr, d'où

dy = u''(' du-k-l.udvy

Par exemple, on a

d.(tg xy^' = (tg xY"' ( H cos X 1. tg X 1 dx.

\^cos X ^ J

Exercices.

g 4- ^a; -t- ya;« (a^ — 6a) -f- 2(07— ca)» 4- (67 — c^)a;« ^

a -+- 6aj -*- c»* ' * (a -i- 6a; H- ca?*)«

« iO 6'aî' ». y = (9o« — 606a; -*- 56«aî«) (a 4- 6a?) 3 ; R. dy = -= ; dx.

*. y = tga?-t--tgSa?; R. dy = — .

o cos* X

s. y = c«« cos 6a? ; R. dy =ze^ (o cos 6a; — 6 sin 6a?) dx,

•. y ^ ^x -H [ ^ cos a; -H cos' x j sin x ; R, dy =zi cos* xrfx.