y = arctg( \/ ::: — r tg ^ )' ^- dy=- — s

a -H ^ COS JB

sin X COS X • ^ . a cos* a? — /3 sin* jb .

f«. V = - ; R. dy = £- £(te.

l/a COS» a; 4-^ sin» a? (^ ^^st ^ ^ ^ sin« x) «

gg — [(2n -» l)a — 2a^]x» ~ [(2n — 2) /3 — 5ay] x^ — (2n - 5) yx^ ^~ (x«-l-a)-+» **

1 9. Constater, par le signe de la dérivée, ijue l*on a pour toute valeur positive de x,

l.(l-t-x)<x, 1. (l-4-aî)>x— — .

11». Propriété des fonctions homogènes. On dit qu'une fonction F (X; y, z,.,.) de plusieurs variables est homogène de degré m, lorsque, chaque variable étant multipliée par une indéterminée /, la fonction est simplement multipliée par ^ ; en sorte que Ton a

F (te, ty, tZy,.)=t'^V (x, y, z,...).

(Exemple : La fonction

xy* -V- %Dyz log- -H «^

est homogène du S»»* degré.)

Posons

tx-=.Uf ty '=^,Vf tz=s.Wf.,.f

et prenons les dérivées des deux membres de Téquation par rapport à t d'après la règle des fonctions composées, en regardant x^y^z,,,, comme constants. Nous aurons

D«F (m, V, w, .) • x -t- DtF (m, V, w..) • y 4- J)wF {u, v, w,...) z = mr»+*F (x, y yS,,..),

Si dans cette équation on pose t=i 1, d'où u = x, t;=:y,.,., et par suite

D«F (tt, V, w,...) = DxF (x, y, z,..), etc.

il viendra

»D,F (x, y, 5r,...) -♦- yD^F (x, y,...) -f- îD,F(x, y,..) =r mF (x, y, ir,...). Cette équation constitue une propriété remarquable des fonctions homogènes.