CHAPITRE IV

DÉRIVÉES, DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DIFFÉRENCES SUC- CESSIVES D'UNE FONCTION D'UNE SEULE VARIABLE.

«O. La dërîvée d'une fonction y ou f (x) de la variable x étant ellc-

inc une fonction de x, on peut se proposer de former sa dérivée :

Ile-ci est la dérivée seconde de y par rapport à x» La dérivée de cette

(érivée seconde sera la dérivée troisième de y, et ainsi de suite. Ces

dérivées successives se désignent par

ou par

dy Le rapport -j- des difTérenticlles de x et de y étant seul déterminé,

Tune de ces différentielles peut être choisie à volonté et même supposée indépendante de x : ordinairement, c'est la différentielle de la variable indépendante que Ton prend ainsi constante. Mais la différentielle dy est une variable dont on peut chercher la différentielle, que Ton nomme la différentielle seconde de y et que Ton désigne par d^y ; la différentielle de cPy est la différentielle troisième de y, ou ci'y, et ainsi de suite(0.

61. Il existe, entre les dérivées et les différentielles de même ordre de y, une relation très-simple, lorsque Ton suppose constante la différentielle dx de la variable indépendante. On a d'abord, par définition,

dy = D,y*(iIx, d.D,y = D*,y«rfx, d. D*,y = D'^y • dx, etc....

Ensuite, dx étant constant ,

(Py = d. dy = d(D,y . dx) = D«,y • dx* ;

d^y = d. d«y = d (D«,y • dx») = D»,y • dx' ;

et en général

d*y = D",y • dx»*.

(i) On ne confondra pas ces différentielles successives d^y^ à^y^»*»» avec les puissances de tfy, savoir: <iy*, dy'....; ni avec les différenlielles premières des puissances suceessives de y, savoir : d, y', d, y', etc.

dy -^ d*y „. d'y „

c'est-à-dire ^rwe la dérivée w""' de y par rapport à ar, C5i égale à sa différentielle w'*"% divisée par la puissance w'*^* de la différentielle de x, prise constante.

6%. Cette relation simple n*a plus lieu lorsque l'on regarde dx, non plus comme une constante, mais comme une variable, dont les différentielles successives sont aussi représentées par d'or, d'or, etc.

Dans ce cas, effectuant les différentiations successives d'après les règles connues, et observant toujours que d.D%j/ = D,"+*y« dx, on trouve

dy = l)sy'dx;

d^y = d{Dxy • dx) = D*,j/ • doc* -h D,j/ • d*x ;

d'y = d (D\y • dx« h- D^y • d*x) = D^y • dx' -4- 3D^y . dxd^x -*- D^^y • d'x ;

etc. D'où Ton tire successivement

d*y — D,y • d*x dxd*y — dyd^x

^^-y= dï« ~dï^^ '

d^y — 5D*,ydxd*x — D^yd^x

l>sy=— itei

{dxd^y — dyd^x)dx — 3(dxd*y — dyd*x)d^x ^

dx*

et ainsi de suite. La loi générale est assez compliquée 0).

Ces formules sont particulièrement utiles lorsque , x et y étant considérés comme des fonctions d'une même variable indépendante f, dont la différentielle dt est prise comme constante, on a en vue d'exprimer les dérivées successives de y par rapport à x, en fonction des dérivées de x et de y par rapport à t. Il est évident, en effet, que dans ce cas dx, d^x,... sont des fonctions de f, de même que dy, d^y,..., et que les équations (2)

(i) Sghlomilgh, Compendium der Bôhet*en AnoXysis^ t. II, p. 16.

sont seules applicables. En divisant les seconds membres haut et bas par dtj dt\ dt^^.., et ayant égard aux relations (1), on trouvera

D,y=j^, D',y = 1,. etc....

ce qui résout la question.

Les formules (2) renferment aussi le cas où Ton choisirait, pour différentielle constante, la différentielle dy de la fonction. On devrait y faire alors (i*j^ = 0, rf't/ = 0, etc., et Ton trouverait

dy dyd^x ^^ dy(5rf«x« - dxrf^x)

^'^="di' ^'y = ^'-^' ^-y- d^- '••

63. La différence ày de la fonction, correspondant h un accroissement Ax de la variable, est elle-même une fonction de x, en généra] ; et sa différence A(Ay) ou A'y, se nomme la différence seconde de y. La différence de A*y est la différence troisième de y et se désigne par A'y, et ainsi de suite. On suppose ordinairement que Taccroisscment Ax de la variable reste le même dans toutes ces opérations successives.

Dans cette hypothèse, il existe entre les différences et les dérivées de même ordre de la fonction y, une relation importante que nous allons établir. Posons Ax=A, et rappelons la formule du n" 41

,. Ay f{x-^A) — f(x) m»'-»-*-,, ,

Appliquons cette même formule à la fonction Ay, en observant que, h étant constant par hypothèse, la dérivée dç, f (x -♦- h) par rapport à x se réduit à f'(x-t- A). Nous aurons

^= ""'-"t'"'"" = Mr\r(.^t)-rwi.

Dans la fonction sous le signe M, où la variable x est censée parcourir toutes les valeurs entre deux limites données x et x-*-A, remplaçons-la, pour plus de clarté, par z ; divisons tout par A, il viendra

Mais la même équation (a) nous donne

et il faut, dans les deux limites de cette moyenne, donner à z successivement toutes les valeurs depuis x jusqu'à xh-A, ce qui fait passer z-^h par toutes les valeurs depuis x-hA jusqu'à x-\-^h. La fonction f'(«) passe donc par toutes les valeurs qu'elle affecte depuis z=x jusqu'à z=x-i-2ft,

et -r~ est, d'après ce qui précède, une moyenne entre toutes ces valeurs;

on peut donc écrire

Ce raisonnement peut être continué indéfiniment. Ainsi l'on a

A»y A«[f (j? + h) — f (x)] «-^2A r(g ^h)^ r(z) Ax'"" Ax' ~^x. h '

et comme

il vient

il z

On aura donc, en général, en rétablissant Ax au lieu de A,

Ax" ^^x

L'accroissement Ax a été supposé quelconque : supposons qu'il soit infiniment petit, en sorte que nAx tende vers zéro. La limite supérieure x + nAx se rapprochant indéfiniment de la limite inférieure x, il est clair que la moyenne se rapproche indéfiniment de la valeur que la dérivée f'(z) affecte à l'origine des accroissements, c'est-à-dire de f"(x), et l'on a, conséquemment,

lim -r^ = f- (x) = :r^ .

Ax" . ' rfx*

Ainsi, la dérivée n''*~* d'une fonction est la limite du rapport de la différence n*^*"' de la fonction, à la puissance n""^ de la différence de la variable. On conclut de là, en désignant par &> une quantité infiniment petite avec Ax,

Ax** rfx** '

ou

A*y = j^ Ax* -♦- «Ax*,

En génëral, D%y est fini et différent de zéro; le premier terme du second membre est donc de Tordre n par rapport à Ar; le second terme est infiniment petit par rapport à Ax" ; A^i/ est donc de l*ordre n, et en prenant dx = Ax, on aura

si Ton néglige mAjc'* comme infiniment petit par rapport à àry,

M. Le résultat de toute différentiation effectuée sur une fonction explicite de x, étant une nouvelle fonction explicite, la recherche des dérivées ou différentielles successives de cette fonction se ramènera aux règles déjà connues : nous Tcffectuerons pour quelques fonctions simples.