ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES
7%. Considérons deux variables, x et t/, liées entr'cllcs par une équation
Il s'agit de déterminer la dérivée ou la différentielle de la fonction implicite y, sans qu'on soit obligé de résoudre l'équation. Pour cela, observons que si x, y varient simultanément sans cesser de satisfaire à l'équation donnée, la fonction F{x,y) de ces deux variables restant constamment nulle, sa différentielle totale est nulle aussi. On a donc c/F= 0, ou
dF dF
^ ' dx dy ^
Cette différentielle totale s'obtiendra par les règles qui conviennent aux fonctions explicites, et l'on aura ainsi une équation du i*'*' degré entre dx et dy, de laquelle on tirera, soit dy^ soit D,y.
Exemple. Soit l'équation
y' — Zaxy -i- x' = 0;
la règle précédente donne
dF = Zy*dy — 3axdy — Zaydx + 5x*dx = 0,
d'où
(x* — ay) dx -*- (y* — ax) dy = 0,
et par suite
dy X* — ay
dx y* — ax
Les différentielles seconde, troisième, etc., de y, s'obtiennent aussi facilement. La différentielle dF étant nulle pour toutes les valeurs de {x,y) qui vérifient Téquation, sa différentielle d^F sera nulle aussi ; on aura donc
ou en développant cette différentielle et supposant dx constant,
Remplaçant rfy par sa valeur déjà connue, on aura d*y en fonction de x,y et dx'.En différentiant totalement l'équation (2), ou en posant d'F=0, on aurait (i'y, et ainsi de suite. On pourrait donner, sous forme générale,
les résultats auxquels on parvient, mais ces formules servent peu dans la pratique : il est plus simple de former directement, par les règles ordinaires, les différentielles successives de la fonction donnée F, et de les égaler à zéro.
Comme on a surtout en vue de former les dérivées successives de y par rapport à x, on simplifie le calcul en divisant par dx chacune des équations à mesure qu'on les obtient : de cette façon elles renferment, au lieu
des différentielles dy, d*y,.-., les dérivées -~j t^>'««
ax ax*
78. Les dérivées obtenues par cette voie renferment, en général, nonseulement x, mais la fonction y elle-même : il arrive fréquemment d'ailleurs que leur expression peut être simplifiée au moyen de l'équation donnée
Reprenons l'exemple oi-dessus. En formant la différentielle du i^^ membre, divisant par dx et égalant à zéro, on obtient
ac* — ay -^^ (y* — ox)-p = 0.
Différentiant de nouveau, et divisant par dx qui est constant, on a
Tirons de la la valeur de —^ et substituons a -p son expression connue;
il vient
d]y^ g x(y' — axy ■»■ a(x> — ay) (y> — ox) + y (a:< — gy) dx* (y* — a j)*
ou, après réduction tirée de Téquation primitive,
cPy 2a^xy
d«* (y* — ox)*
74. On a souvent à calculer les valeurs des dérivées d'une fonction explicite pourx = 0; pour cela, on cherche une équation du premier degré entre cette fonction et ses premières dérivées , équation que Ton traite ensuite par la méthode précédente.
Soit, par exemple,
y = cos (m arc sin x); d'où
dy m sin {m arc sin x)
ou
l/1 — X* -p -*- m sin (m arc sin x) = 0.
dx
Différentiant de nouveau cette équation, Ton a
/ cPw X du m* cos (m arc sin x)
dx« |/l-^x««^ |/1— x«
ou bien
Formons la dérivée n*»* du premier membre de cette équation d'après la règle connue (64, V) : il vient
Cette relation entre trois dérivées successives de la fonction proposée se réduit^ pour x = 0, à celle-ci :
Ca\=(»--<S).-
et comme D,y s'annule pour x=0, il en sera de même de D',y, D^y, etc. Quant aux dérivées d'ordre pair, on aura, (y)o étant égal à Tunité,
et ainsi de suite.
Exercices.
• • . . .V ^ dy a — 6x is (ax -{- by)
dx 6 + 2y tg (aa; + 6y)
dy »* — oy. d«y 6oa^(a5»y'-4-2a*)
* ^ (te y* — o« dx* (y* — aa?)5
. « .y dy l/A»-y« d«y a^V/F=^-i-yV/A«— a?»
