ÊS
et en déduire les valeurs des dérivées de y pour aî=. 0. 9. Soit y = arc sin a;; on a
(£S).-<.-..-fe).=«.
K Soit
on a la relation
■(PV=^'(£^).--(ï).-.=».
pour toute valeur de n> 2.
l 3. ÉQUATIONS RENFERMANT TROIS OU UN PLUS GRAND NOMBRE DE VARIABLES.
75. Il D'y a pas plus de difficulté à différentier les équations qui renferment plus de deux variables. Soit donnée une équation entre trois variables
I, y étant choisis comme variables indépendantes, z sera une fonction implicite de x et de y. Or, la fonction F (x, y, z) restant constante, pour toutes les valeurs de x, y, z qui satisfont h Téquation, sa différentielle totale, qui se forme d'après les règles données pour les fonctions explicites, est nulle, et l'on a
,„ dP, dF, dP, aP = -p ox -H -r- oy -H -r- oz = 0.
ax ay az
Dans cette équation, dz est la différentielle totale de la fonction z (48), et l'équation fera connaître sa valeur en fonction de x, y, z et de dx, dy.
De même, dP étant constamment égal à zéro, sa différentielle totale d*P sera nulle aussi, et dans cette seconde différentiation, on pourra supposer constantes les différentielles dx, dy des variables indépendantes, puisque ces quantités sont indéterminées (45, S"") : dP étant alors une fonction de x,y, z, dzy sa différentielle renfermera d*z, et Téquation d*P=0 fournira la valeur de d'z en fonction de x, y, z, dx, dy; et ainsi de suite.
Connaissant les différentielles totales successives de z, on en déduira immédiatement ses dérivées partielles (70).
Soit, comme exemple, l'équation
— -♦- ttH-— = 1.
Egalant à zéro la différentielle du premier membre, on a
xdx ydy zdz
d'où
^' ^Qi^-^b*'^^)
DiSerentions une seconde fois Inéquation : il vient
dx a
c' rfv* dz* zd*z
d*où, tirant la valeur de d*z et remplaçant dz^ par son expression, on a
d.. = i' \(1 -H £^;^ dx» -4- 2 -^, dxdy -^ ("i H- ^l") dv'l je L\o« a*z*J a*6«z« ^ \6« 6V/ ^ J
ou enfin, en ayant égard à Téquation donnée^
Ainsi dz^ dh sont connus; si Ton cherche les dérivées partielles de jz, on
aura
dz c*x dz c*y d*z c*(6* — i/*)
rfx à*z dy 6'z dx' o*6*z'
76. Si Ton a plusieurs équations entre les mêmes variables, les mêmes principes s'appliquent sans difficulté. Soient
Fi(x,y,z, «) = 0,
deux équations entre quatre variables x, y, z, t/ ; deux variables, z et u par exemple, seront fonctions des autres, x, y, que Ton regardera comme indépendantes. Il s'agit d'exprimer les différentielles totales Jz, cit/, d^z^ d*Ui... en fonction de x, y, z, u et des différentielles clx, c{y, supposées coi2$(an(e$ puisqu'elles sont arbitraires.
En raisonnant comme plus haut, nous sommes conduits à poser les égalités
^v ^^^ ^F, clF, rfF, .
dF = -7- dx -♦- -r- ay H- -r az -+- --dM = , dx dy "^ dz dt*
dFi dFi dFi rfFi. n
rfFi = — - dx -+- -7— dy H- —7- dz h- —7— dw = 0, dx dy dz dw
qui sont du premier degré en dz, du. Il suffira donc de résoudre ces deux équations par rapport à dz, du pour obtenir ces différentielles totales, sous la forme pdx h- qdy.
Posant ensuite (PF = 0, d*Fi = 05 ou différentiant les équations cidessus par rapport à toutes les variables x, y, z, ti, clz, du, qu'elles renferment, nous formerons deux nouvelles équations du premier degré eu d'z, d'ti, et nous en déduirons, après substitution des valeurs de dz, du^ les valeurs de d^z, d^u sous la' forme rrfx* -*- ^sdxdy -<- tdy^. Et ainsi de suite. On écrirait facilement, en formules générales, les résultats de ces différentiations successives, mais cela n'offrirait que peu d'utilité pour les applications.
77. En général, soient n variables liées entr'elles par k équations
Fi(x, y,... w, r,...) =0,
F4(x, y,... ti, r,...) = 0,
i étant < n. En vertu de ces équations, k variables m, i?,... pourront être considérées comme fonctions des n — k variables restantes x, y,..., qui seront arbitraires ; et la recherche des différentielles totales successives des variables dépendantes se ramènera toujours à ces trois principes simples :
1° Les fonctions Fi, Fj,..., F* des n variables étant assujéties, par la nature de la question, à rester constamment égales à zéro, leurs diffépenticlles premières, secondes, troisièmes, etc., seront nulles.
2" La différentielle totale d'une fonction, quelque soit le nombre des variables, est la somme des différentielles partielles de la fonction par rapport à toutes les variables.
3» Les différentielles dx, dy^,.. des variables indépendantes étant des quantités arbitraires, on les choisira constantes dans les différentiations successives, ce qui facilitera les différentiations et le passage des différentielles aux dérivées partielles de ti, v,...
L'application directe de ces règles résoudra la question. Les k équations
(lFi = 0, dFs = 0,..., dFk=Oy
fourniront dw, dv,... par la résolution d'un système d'équations du premier degré. Une seconde différentiation donnera k nouvelles équations du premier degré en d*î/, rf*r,..., d'où l'on tirera les valeurs de ces inconnues. Et ainsi de suite.
Les dérivées partielles successives de t/, v,... seront faciles à déduire de là : ainsi, pour obtenir D'^D^^ri, il suffira de chercher le coefficient de dx^dy dans l'expression de d't/, et de le diviser par 3(70).
78. Il peut se faire que Ton ait k = n — 1 ; dans ce cas, une seule variable^ x par exemple, reste arbitraire : les autres sont toutes des fonc-> tions de jr, en vertu des n — 1 équations qui les* lient. On opérera du reste comme dans le cas général, en regardant dx comme une constante. Seulement, il sera plus commode, aCn d'avoir immédiatement des équations où entrent les dérivées des fonctions, de diviser par dx chaque équation en même temps qu'on la différentie.
Exercices.
i. 20x2: 4- 26yz 4- C2;« = A' ; dz = adx-^bdi/ ^
ox -H 6y -♦- cz
{ax -{- by 'i' cz)^
z 2aJt/
t. 2' -♦• ajy«— -0? = 0; d? = =- d* — ;r4 rfy ;
3x oz*
d*z = --\ -dx* -♦- ^ dxdy -4- ^^ r^ ' dy* ; 9 \ X* z* z^ I
dx i -^l.z dy i -*- 1.^
dH x(\-\-\.xY-\-z{\-\-\.z)* d*z (1-4-1.0?) (I -4- Ly) £z dx*'~ xz(\-\-\.z)'' ' dxdy""" (1-+-I.2)» ' dy*^""
dy z — X dz y — x d^y 36* — a* d^z 36*— a*
dx y — z dx z — y dx* {z — y)' dac* (y — z)'
MU— [a(rt — a?) -4-19(6 — y)-^y(c — ^)] = 0, (a - x)*-t- (6 — yy-i-ic — z)* — v» = 0.
Former les dérivées partielles de u, u, par rapport à Xy y, z, et montrer que Ton a
.du .^ .du x^** n
d^u d^u d»ti 2m
t. Etant données deux équations entre quatre variables
Fi (a?; y, «; v) = 0, F, (x, y, w, v) = 0,
iiopeut y considérer u, v comme fonctions de Xj y, ou bien x, y comme fonctions de «, V, Les quatre dérivées partielles qui répondent au premier cas, et les quatre déri- 'fées partielles qui répondent au second, satisfont aux relations
dx du dx dv ^ dx du dx dv
du. dx dv dx ' du dy dv dy
dy du dy dv
du dx dv dx '
dy du dy dv
du dy dv dy
f . Soient ti, v des fonctions implicites de quatre variables x, y, a, ^, définies par deox équations de la forme
tt=:a + »f (m, v), V = ^ -h y^ (Uj v).
On a, en désignant par t{u, v) une fonction quelconque de u, v,
dï df
df , , df Ty = ^^''^'^T^
