DU CHANGEMENT DES VARIABLES
% \ • FONCTIONS d'une SEULE VARIABLE.
79. Soil y une fonction, généralement inconnue^ de la variable x, et
une expression renfermant, en gënéra), les variables x et y, ainsi que les dérivées de y jusqu^à un ordre déterminé. On se propose de résoudre Tun des deux problèmes suivants :
jer problème. Eliminer, de l'expression donnée, la variable x, pour introduire h sa place une nouvelle variable <, liée avec x par une équation donnée, et à la place des dérivées de y par rapport à x, ses dérivées par rapport à t. Ce problème est celui du changement de la variable indépendante.
On exprimera d'abord D,?/, T)*,y,.., en fonction des dérivées de x et y par rapport à t, au moyen des relations (62)
dy dx dhj dy d^x
(i) I>^y = ^' I>^y = Y^. ' ete.
dt \ dt)
L*équatîon donnée entre x et t fera connaître explicitement les dérivées de X par rapport à <, et en remplaçant dans V les dérivées D,y, D'rt/,... par leurs valeurs, puis éliminant x à Taide de Téquation entre x et <, on aura V en fonction de t/, t, D^y, D'/y,..., ce qui était le but qu'on se proposait.
Exemple. On demande de transformer l'équation différentielle entre
en une équation entre y et <, d'après la relation
X = cos t.
On a
dx d*x
les formules (i) deviennent
dy \ dy d*y i d^y cos t dy ,
dx'^ sin t dt rfx* sin* t dt* sin' t dt
substituant et éliminant x de l'équation donnée, on obtient
pour l'équation différentielle entre y et t.
Exercices.
Transformer par la relation a + x = e*.
t. Transformer, en prenant y pour variable indépendante, les équations d*y mx /dy\^ /^y\* ^ « d*x dx mx
(te» y* V*'*/ \ / ^y ^y y
/^A' Ay\' ^ « à*x
§0. â"* Problème. — Changement de toutes les variables, — On demande d'éliminer de Tcxpression donnée
les variables a;, y, pour introduire à leur place deux nouvelles variables u, ty liées aux premières par deux équations données, et substituer aux dérivées de y par rapport à x celles de u par rapport à t. Les équations données
F (x, y, ti, 0=0, F, (x, y, w, e) = 0,
jointes à la relation inconnue entre x et y, permettent de regarder a;, y, u comme des fonctions de <, variable indépendante. En différentiant ces
équations, on en tirera -r-» -^^ en fonction des variables et de -=- •
dt dt dt
Différentiant une seconde fois, on aura deux équations qui donne-
ront-p-j -4» en fonction des mêmes quantités et de -rrî et ainsi de dt* dt* * dt*
suite.
D'autre part, les équations (i) nous permettent d'exprimer les dérivées
successives de y par rapport h x^ en fonction des dérivées de même ordre
de X et de y par rapport à /. Remplaçant ces dernières par leurs valeurs
déjà trouvées, et portant les résultats dans l'expression V, il ne restera
plus qu'à éliminer x et y pour avoir la valeur de V transformée en w, f, du (Jtj^
^e cas est celui qui se présente lorsque l'on a obtenu l'expression d'une certaine grandeur géométrique, en fonction des coordonnées rectangulaires X et y d'une courbe, et qu'on veut la transformer en coordonnées
— no —
polaires. Les nouvelles variables, r et 9, dépendent des premières par les
relations
a:=rcos9, y = rsin0.
On a donc
dx ^dr , r, du dr
=cose^-rsme. ^ = sin 9 ^^ + rcosQ;
cPx ^ cPr ^ , ^dr
cPi/ (/'r dr
-pf = sin 9 -=— -♦- 2 cos 9 -^TT — r sin : etc.
Les équations (I) deviennent, en remplaçant t par 9,
, sin -77: -♦- r cos ., r'-nâ-^rr — r-r^-
dy dB rf*y ^6 <^9
dx ^ rfr . ^' dx* / ^dr . .X'*
cos -j;: — r sin 9 a0
1 cos0-j7^ — rsin0 j
et ainsi de suite. On voit comment les dérivées de y par rapport à x s'exprimeraient en fonction de celles de rpar rapport à 0. Substituant ensuite dans l'expression donnée V, et remplaçant x, y par leurs valeurs en r et 0, la transformation serait effectuée.
Si la relation entre les anciennes et les nouvelles variables était exprimée par des équations différentielles, on pourrait encore, dans certains cas, au moyen de telles équations, faire l'élimination demandée.
Exercices.
i. Trtusformer, i l'aide des relations «=r cos 0, y=r sin 0, les expressions
*"*'^dx V '-^:7Ii dx'
dr / 5:3 H+2^-r^
de» dB»
t. Transformer l'expression de V, (ex. i) en u et /, à Taide des relations
dy
-2. = tg /, da^-i- dy* = du*.
du R. V. = -. .
t. Même problème, les relations étant
du / =—-» u = y — tx.
ax
ld*u R. V, = -(H-^)«^
