THÉORIE DES ASYMPTOTES

124. On appelle a.Sf/mpfo^e d'une branche de courbe infinie une droite telle, que In distance k cette droite d^un point qui s'ëioigne indéfiniment sur la branche de courbe, a pour limite zéro.

On considère aussi des asymptotes curvilignes dont nous ne parlerons pas ici.

Si la branche infinie admet une asymptote non parallèle h Taxe des t/, réquation de cette droite sera de la forme

et comme la différence entre les ordonnées de la courbe et de l'asymptote , pour un même x, a pour limite zéro lorsque le point M s'éloigne à l'infini, en vertu de la définition ci-dessus, il s'ensuit que l'équation de la branche infinie doit pouvoir être mise sous la forme

y=kx -+-/-♦-¥,

V désignant une fonction de x qui tend vers zéro, x croissant indéfiniment. On a donc

et par suite, x croissant indéfiniment,

lim - = ft.

Puis, en vertu de la même équation,

y^kx=l H- V, lim {y — feï:)=/,

V devenant nul pour x infini ; les valeurs de - et de y — kx tirées de

l'équation de la branche infinie, donneront donc, à la limite, les coefiicients k et /, et par suite l'équation de l'asymptote.

Réciproquement, si l'équation de la branche infinie conduit, parce calcul, à des valeurs déterminées et finies de k et i, la branche a une asymptote

En effet, les coordonnées x et y de la branche infinie satisfont à la condition lim{y — kx)=lj d'où

y — fcx=t-t- V,

V tendant vers zéro lorsque x devient infini ; donc Téquation de celte branche peut être mise sous la forme

yz=kx-^ /-♦-¥,

ce qui montre que la courbe s'approche indéfiniment de la droite qui a pour équation y = kx -^L

Il faut observer que la branche infinie peut s'étendre vers les x positifs ou vers les x négatifs, et que, pour trouver l'asymptote, il faudra, dans le premier cas, faire x=^ •+■ oo ; dans le second, faire ar=: — oo

135. La méthode précédente ne s'applique pas aux asymptotes parallèles à Taxe des y; mais comme l'ordonnée de la branche infinie doit croître. indéfiniment, à mesure que la courbe se rapproche de son asymptote, il est clair que, si x=a est l'équation de cette droite, y deviendra infini lorsque x tendra vers la limite a. On trouvera donc ces asymptotes en cherchant les valeurs de x qui rendent y infini dans l'équation de la courbe.

ISS. Si l'équation de la courbe est algébrique^ on y posera t/ = tix, et l'on divisera toute l'équation par la plus haute puissance de x qu'elle renferme, ce qui donnera un résultat de la forme

(1) f(„)-^.lf.(„)+J.f,(„)-^...=0.

Le rapport - outi tendant vers une limite finie k quand x devient infini,

on a

Umî{u) = i(k) = 0,

et les racines réelles de cette équation feront connaître les valeurs de k qui répondent aux asymptotes. On posera ensuite dans l'équation (1)

et l'on développera f(ii), fi(t<],... suivant les puissances ascendantes de

- par la formule de Taylor. Le terme indépendant de ce facteur s'annule

en raison de l'équation f(fc)=0; multipliant toute l'équation par x, fai-

sant x=ifc», remplaçant l=y — kx par sa limite /, on obtient une équation qui détermine / en fonction de Ar, et fait connaître, pour chacune des valeurs trouvées pour A:, le coelTicient / correspondant. Soit, comme exemple, la courbe qui a pour équation

xf/* -♦- î)x'y -4- 4x^ -^xij — 9 = 0.

L'équation, résolue par rapport à y^ donne y = d:zoo pour x=0 : Taxe

des y est donc une asymptote dans les deux sens. Remplaçant y par ux et

divisant par x^, on a

les deux derniers termes devenant nuls pour x=oo , Téquation en k sera

it«-^5fc -4-4 = 0, et donnera les valeurs réelles k= — i, A== — 4.

Remplaçant ensuite u par /:-4- - dans Téquation ci-dessus, on a

\^ xy \ xj X X* X*

et en supprimant le terme A' -f- 5/: -4- 4 qui est nul, puis multipliant par x,

ou bien, en remplaçant chaque terme par sa limite,

1 4 On trouvera donc, pour A: = — 1, /=::; pour A: = — 4,/= , et

l'on conclura enfin que la courbe admet trois asymptotes qui ont respectivement pour équations

Dans les courbes transcendantes dont Téquation ne serait pas réductible à la. forme (1), on procédera directement à la recherche des limites de u et de 2/ — kx,

137. Considérons maintenant une courbe dont Téquation est donnée en coordonnées polaires, et qui admet une branche infinie pourvue d'une

nsjmplotc AZ. Abaissons OA perpendiculaire sur AZ, MP perpendiculaire snrOA; la distance AP du point H à l'asymptote ayant pour limite zéro quand le point M s'éloigne à l'infini sur la Miirbe, on a

lim OP=/i"»i{OM sin OMP) = OA, et Comme OM tend vers l'infini, il faut que *'" OIMP tende vers zéro. La direction du | ''"yon vecteur OM, à ta limite, est donc parai- ^éle tè- l'asymptote.

Soi «> lit donc (>',0) les coordonnées polaires du point M, a l'angle que fait ^Z av-^cl'axe polaire OX, 3 la distance OA du pile à l'asymptote. On aura d'abor-«a, r croissant indéfiniment,

lim<^ = a, ce qu K fera connaître la direction de l'asymptote; ensuite, l'angle OMP étant «S^I à 9 — «,

$=lim [rsin(e — «)] = Km [r(9 — a)].

Cork, naissant la direction de l'asymptote et sa distance au pdie, on pourra consti:*t.Bire cette droite.

£ïe»»ipfe. L'hyperbole rapportée h l'un de ses foyers a pour équation

\ — £ eos

les

i de 9 qui rendent r infini sont données par t'équalion E Cûs9 = 0; on n donc

^'ïsuiie

lim[r\

■* 1 — ïcos9

: V lim D=T--

'■'^ dcmi-axcs de l'hyperbole étant «, 6|/— 1, on sait que

les asymptotes se construiront donc au moyen des équations

a cos a = j/a* -t- 5*, ^=5,

qui détermineront deux droites également inclinées de part et d'autre de Taxe polaire.

f . Courbée du iecond ordre :

ay* -♦- bxy -4-ca5*4-dy-#-ca!-*-/'^0.

Si b^-'iac^ 0,

, --6±t/6«~4ac dk-i-e

La courbe est une hyperbole, et il y a deux asymptotes.

9, y» — 3axy -♦-»'= 0.

Une as}rmptote dont Tcquation est

S. ary* -H 4«*y -f- SOocy h- 2iy -*- 57» -♦- 20= 0.

Trois asymptotes :