COORDONNÉES POLAIRES

ISS. On détcrmiDC nussi la tangente en un point M d'une eourbe, ra pportée ii des coordonnées polaires. Soient ■ O le pôle, OX l'axe polaire; 9 = X0M,| ri^=OM les coordonnées du point H; et

r=f(e) ''équation de la courlie. L'angle n, que fait la I direction MF de la tangente, prise du côté où S <^wgmente, avec la dircctîoa OM prolongée, ^■ifTilpour déterminer la tangente.

Soient r+Ar, 0-t-A9 les coordonnées d'un 1 point H' infiniment voisin de M; menons ta I ^caale MH', le rayon OM', MK perpendiculaire sur DM'. Le triangle fcctangle MKM' donne

L'angle MM'K a pour limite l'angle f^; d'autre part, on a, en négligeant ^es iofiniment petits d'ordre supérieur à A9 (n°' 28 et 36),

MK=rsinAe=!rA6, M'K=OM' — OK=OM' — OM=Ar, donc

__ dO AT dr' Tirant de l'équation de la courbe r, dr, en fonction de 0, dO, on aura

rinclinaison de la tangente sur le rayon vecteur en un point quelconque de la courbe.

On appelle sous-tangente et sous-normale polaires^ les distances comprises, sur une perpendiculaire au rayon vecteur menée par le pôle, entre le pôle et les points T, N respectivement, où la tangente et la normale coupent cette perpendiculaire. Les longueurs MT, MN sont celles de la taîigente et de la normale polaires» Les triangles rectangles MOT, MON

donnent

rfO dr

OT=S, = rtg^=r«^-, Ox\=S„=rcotp=^ •

= T = |/r« + S,« = r% /i-Hr«^, MN=N=%/3

iMT = T = i/r« + S,« = r% / i-hr*^., MN=N=% / ^*-^ Ji

On observera, pour la généralité de ces formules, que les longueurs S< et Sn sont positives, lorsque la rotation de OM vers OT est de sens opposé au sens où augmente, et négatives dans le cas contraire.

La perpendiculaire OMi, abaissée du pôle sur la tangente, a pour

expression

r^dO P=r sin fz = •

[/dr^ -H r*rfO* Si l'on désigne par n, 6i les coordonnées du point Mi, l'équation de la podaire de la courbe donnée, par rapport au pôle 0, s'obtiendra en éliminant r, et fx entre Téquation de la courbe et les équations

ri = rsinfx, — Oi=--.fz, ^1^ = ^-^;:'

t. Spirale d*Aichimhde : r= aO.

tg^ = ô = -, St^=--<i S„=a=co/w/., P =

a a |/jt« ^ ^

n Z, Spirale hyperbolique : r = - •

tg,a=r.-0 = — -; S, = — o = co/w/., S« — — -, T = J/a» -»- r«.

S. Spirale logarithmique : r = a^^,

tg ,a = — , la courbe coupe le rayon vecteur sous un angle constant; S/= — , S«= un

d'où|i=m«.

T= 'VlH-< N=rV^i4-,n% P =

m [/ 1 4- wi*

L'ïquiilion de la podairc C!

", daignant la quantité cens

I^s points T, N, 1U| dérivent donc des sptrules atmblable» à la proposée. «. Cardioîde! r = 2o{l -t- cos 0).

i := — — , ce qui donne une canslructiou facile de la tangente.

«|, S. = — 2asinfl, T = -^, V = -^^.

I''û<]| untioD de la podairc est

•• ^- ^hyperbole équiCalire i r" ces 26 ^ a'.

tg/.=cot29, |-;u = 2fl±.-5r;

l axe polaire est également incliné sur le rayon vecteur et suj Pou r- trouver la podairc par rapport au pôle, on a

^*tte courbe est la lemnûcale de BtrnauUi.

*' oti lui applique les formules générales, on trouve

ce qui doiiDe ig niiyen de construire fucilemcol [a tangente. ■ -io déueloppante rfu cercU. — Cette courbe se consti ë""c ai] cercle, à partir du poiut de cnutact It, une tou- S"'"'" MH 'égale à l'arc de cercle compté d'une origine fixe A JUitm'iu point de contact.

''^«•S'iaus par » l'angle AOH ; pur (r, b) tes cooi'di "IX'ïiXM: les équations de la développante seront

■c ig «.

tg,.T=<o=lg(îo-e), ^ qui fuit voir que la tangente il la courbe est parallèle au rayon OR, et que lu noriualc