ANALYSE DES COURBES PLANES

§ f . DU SENS DE LA CONCAVITÉ.

1S8. Supposons qu'en un point M d'une coui'bc, la tangente ne suit pas parallèle h l'axe des ordonnëcs. Si, dans le voisinage du point M, la courbe est constamment du câté de la tangente où se trouve la partie iniiëfinie de t'axe des y posilirs, on dit que la courbe, au point IH, tourne sa concavité vci's les y positifs. Si, au contraire, les points de la courbe infiniment voisins du point H sont, par rapport 1 à la tangente en H, du même cittë que I l'axe des y négatifs, on dît que la courbe 1 tourne sa concavité vers les y négatifs.

Pour fixer les caractères analytiques qui ' distinguent ces deux cas l'un de l'autre, on observe que, dans le premier cas, la différence S entre l'ordonnée de In courbe et celle de la tangente en M est positive pour les points infiniment voisins de M, tandis qu'elle est négative dans le second. Or, soient (x, y) les coordonnées du point H, y=i{x) l'équation de la courbe; l'ordonnée correspondante à l'abscisse x-t-h, h étant infiniment petit et de signe quelconque, aura pour valeur

y' = t{x+k)=t{x) + Af(x) + yr(x-i- SA).

L'équation de la tangente en M

yt-y = r{x)a-x) donne, pour l'ordonnée de cette tangente qui répond k ^=x-hh,

y, = î{x) + kr{x), donc

i = y'-y, = ^r'{x + Qh).

Sif"{a:) n'est pas nul, f'{x-t-Qk) sera de même signe que f'(x) à cause

de la continuité, et comme -h* est positif, le signe de 5, quel que soit

]c signcde /i, sera celui (le r'(x) ou —• La courbe tourne donc sa contaviti vers le» y positifs ou vers les y négatifs, en un point donné, selon que la dérivée -~ a le signe + ou le signe — en ce point.

f 99. Si 3 diangcnit de signe en même temps que A, en un point parliculicr de la courbe, lu courbe, en ce point, traverserait sa tangente : ce serait un poitil d'inflexion, h'après ce qui précède, eela ne peut avoir lieu I que si r'(z) est nul. On trouvera donc les I points d'inflexion de la courbe en cher- I chant In points dont les coordontiies vert- I fient l'équation

dx* Il faudra, toutefois, que la dérivée troisième ne s'annule pas en même temps, car 3 sérail alors de même signe que f"(x) quel que soit le signe de A, et la eouri>c ne traverserait pas sa tangente ; et ainsi de suite.

On remarquera encore que cette théorie, s'appuyant sur le développement de l'ordonnée de la courbe par la foriniile de Taylor, suppose que r(x), f"(x) soient des fonctions continues de x dans le voisinage du point (x, y). 11 pourra donc y avoir des points d'inflexion non compris dans l'équation ci-dessus : on les trouvera en clicrehant les valeurs de x qui rendent infinie la première ou la seconde dérivée de y, et en s'assurant si d'y change de signe (i38) lorsque x passe par ces valeurs.

Exercices.

Points d'inflexion des courbes suivantes :

• . ^ = 30* — Sftt'+HOie— IBOa'-t-oia + n.

S. ^^siii'a*. R. Uae inlinilc de points d'inflexion qui rc|>onden( ù

S. a-' — o'j;' -+- a'j ^0. H. Deux points d'inflexion :

'^\/& ""56' '""~i/i """se-