DES POINTS SINGULIERS

ISO. On nomme points singuliers ceux où la courbo présente quelque particularité qui distingue ces points de tous les autres.

Généralement, la courbe admet en chaque point, Ici que M, une tangente unique, et les deux arcs qui partent du poiut M sont du même côté de la tangente, mais de part cl d'autre de la normale en M, sauf quand le point H est un point d'ioflexion, ear alors la 1 courbe traverse sa tangente.

Un point conjugué est un point isolé I dont les coordonnées vérifient l'équation I de la courbe; nn point multiple (I) est I celui où se croisent deux ou plusieurs I branches de la courbe, qui n'ont paR généralement même tangente en ce point; uu point où s'arrêtent deux branches de courbe et où elles ont même tangente, se nomme un point de rebrou»sèment i il est de première ou de seconde espèce selon que les deux branches ne sont pas, on sont du même edté de la tangente commune (II, III).

Ud point saillant (IV) est celui où s'arrêtent deux branches de courbe qui n'ont pas même tangente.

Enfin, lorsqu'une branche de courbe simple se termine brusquement en un point, celui-ci est un ;>oinf d'arrél.

Nous allons exposer une méthode pour discuter la nature de la courbe dans le voisinage d'un point donné de celte courbe : cette méthode nous conduira k un théorème général, qui fournil un caractère précis poui' reconnaître l'existence des points singuliers; elle nous servira ensuite à discuter complètement l'espèce de ces points.

fSI, Soit F{x,y)=0 l'équation d'une courbe rapportée k des axes rectangulaires; H un point de cette courbe; a et 6 ses coordonnées; x=a+h , i/=b+k celles d'un point quelconque M' du plan, infiniment

— J80 — voisin du point M. Nous supposons que les fondions dF dF *'(^'î')' d^' di soient continues pnr rapport Axelày danslevoisinagedesvnlcurs x^a, y'=b, c'esl-ii-dirc dans le voisîniigc du point M. Nous avons donc

F(,,j)-F(.^»,6^*)-F(„,6)*(|A + ïïi)^,^^^.

d'après le tlidorcmc de Tajlor.

MaisF(o, b) est nul; de plus, SA, Ok étant infiniment petits, les valeurs

de -j- et -T- qui se rapportent à x^a + Qli, y => 6 -+- Ôfc, diffèrent infiniment peu, k cause de la continuité, des valeurs qui se rapportent à

dF rfF ;e=>a, y = b, et que nous désignerons par -r-i -tr- Donc

I >?, yf étant infiniment petits.

Du centre M, nvcc un rayon infiniment pelil p, décrivons un ecrclc; le point M' I étant sur ee cercle, nous aurons

A^pcosS, fc=psin0, S désignant l'angle que fait le rayon MM' avec MX' parallèle & OX. Déterminons, en outre, une quantilé H, et un angle a compris entre et t:, qui satisfassent aux équations

-T- ^ — Il sin a, -tr = H cos a , da do

ce qui donne dV

"rfF* db L'équation ci-dessus prendra la forme

V{x, y) = p [H sin (9 — a) + m], b) étant la quantité infiniment petite )]cos 0-*- vi'sînd.

Cela posé, suivons les variations de la fonction P(r, ^] lorsque le point W{x^y) parcourt la circonférence du petit eerele, pour connaître les points où F s'évanouit : ceux-là seulement appartiennent à la courbe.

„ ^ //((FN* /dvy d

dF dF

jVous supposerons d'abord II di/fémnt de zéro, ce qui aura lieu si -t— , -»-

ne sont pas nuls à la fois; divisant par pli, nous aurons

-jjF(x,y) = sin(9 — a)-t-^,

expression qui ne peut s'annuler, o) étant infiniment petit, que pour des valeurs infiniment petites de sin (0 — a), c'est-à-dire pour des valeurs de ô qui diffèrent infiniment peu de a ou de a -h tt. Menons par le point M la droite A Ai, faisant avec MX' l'angle X'MA = a déterminé ci-dessus; les points, sur la circonférence, qui appartiennent à la courbe, ne peuvent donc se trouver que dans le voisinage de A et de Ai. D'ailleurs, soit e un angle choisi aussi petit qu'on le veut, mais indépendant de p : lorsque 6 varie depuis a — e jusqu'à an-e, sin(0— a) passe du négatif au positif,

et comme - est infiniment petit avec p, -riFlJ"^» y) ^ le même signe

(5^, 2<*) que sin (9 — a), et passe aussi du négatif au positif. Or, cette fonction continue de fangle ne peut changer de signe sans s'annuler; il y a donc un point de la courbe sur l'arc compris entre les limites 0=0. — e, = a -4- e; et, par la même raison, il y en a un sur l'arc compris entre 0=a-i- TT — g et 9 = a-*-7r-*-e.

Chacun de ces arcs, d'ailleurs, ne renferme qu'un seul point, car, si la fonction F(x, y) s'annulait deux fois dans l'intervalle de 6 = a — e à G =: a -f- e, sa dérivée par rapport à 9, savoir

dF{x,y) dF . . dF . / dF . . dF . \

— \^ ^ = r-pSin0-4--=-pCOS0 = p( r-SinGH--rT- COSO-f-û) I

dO dx^ dy^ ^\ da db /

= pH cos(9 — ^)"*" ff »

(o)' étant infiniment petit), s'annulerait dans le même intervalle (87), car elle est évidemment une fonction continue de l'angle 9. Or, c'est ce qui

est impossible, puisque cos(9— ^a) diffère très-peu de l'unité, tandis que

— - est infiniment petit. Le même raisonnement s'applique à l'intervalle

a H- TT ± e, cos (9 — a) étant très-voisin de — J .

La courbe est donc coupée par la circonférence de rayon p, en deux points seulement, l'un qui est infiniment voisin du point A, l'autre qui est infiniment voisin du point Ai : cette conclusion subsistant pour des valeurs indéfiniment décroissantes de p, la suite dx; ces points forme évidemment

une simple ligne continue, tangente en M à la droite AAi. De là résulte ce théorème, important pour la représentation analytique des courbes :

Si l'équation F(x, t/)==0 est satisfaite par un système de valeurs x=a, y = 6, dans te voisinage desquelles la fonction F et ses dérivées partielles du premier ordre sont continues par rapport àxet ày; si, déplus, ces deux dérivées ne s'annulent pas simultanément pour x=ay y=by la courbe, lieu géométrique de l'équation F(x, f/)==0, présente dans le voisinage du point {a, b) une ligne simple, continue^ ayant une seule tangente en ce point.

183. L'équation de cette tangente AAi, qui fait avec OX Tangle a

déterminé par Téquation

dF da

db est évidemment

ce qui nous ramène, par une autre voie, à l'équation connue de la tangente. Pour reconnaître de quel côté de sa tangente la courbe est située en M, il suffira de chercher le signe de F(x, y) en A et en Ai; sin(9 — a) étant nul en ces points, ce signe sera celui de la quantité d). En développant Texpression de &> par la formule de Taylor, on trouverait une règle qui ne diffère pas, au fond, de celle que nous avons donnée plus haut pour déterminer le sens de la concavité d'une courbe.

188. Il résulte du théorème précédent que le point {a, 6), qui satisfait aux conditions énoncées, ne peut être un des points singuliers définis au n® (130), et si nous faisons abstraction des points d'inflexion, nous pourrons énoncer le théorème suivant :

Pour qu*un point de la courbe qui a pour équation F(x, y)=0 soit un point singulier^ il faut, ou bien que ses coordonnées rendent discontinue

Pu7ie des fonctions F(ap,t/), -7-5 —-; ou bien qu'elles satisfassent à la fois

aux trois équations

dF dF

Dans une courbe algébrique, F(jp, y) est une fonction rationnelle et entière de X et de 2/ : la première hypothèse ne peut se réaliser. La seconde donnera donc seule tous les points singuliers.

Admettons donc que le point (a, 6) satisfasse à ces trois équations, et que

Ton ait

dF dp

proposons-nous de discuter complètement la nature de ce point singulier. Pour cela, admettant la continuité des dérivées partielles successives dont on fait usage, on développera F(a+/i, b-^k) par la formule de Taylor jusqu'aux termes d'un certain ordre; supprimant les termes qui s'annulent en vertu des conditions ci-dessus, et remplaçant h par pcosG, k par psinO, on trouvera évidemment un résultat de la forme

F(x,t/)= F(a 4- A, 6-^ k) = p«f (e)-f-p'fi(e) -*- ...,

f (Q) , fi(0),... désignant des fonctions entières de sin9, cos G. On suivra ensuite, sur la circonférence du petit cercle de rayon p, les variations de Ja fonction F(j:, t^), afin de trouver les points où elle s'évanouit, points qui appartiennent à la courbe. Cette discussion, analogue à celle que nous avons faite plus haut, repose sur ce que les termes du développement de F(x, y) sont ordonnés suivant les puissances de l'infiniment petit p.

Nous allons appliquer ce procédé à des exemples particuliers, ce qui sera plus clair et aussi instructif qu'une théorie générale : nous remarquerons seulement que, si l'équation de la courbe est rationnelle et entière en x et en y, au lieu d'appliquer la formule de Taylor, il sera plus simple de substituer directement dans l'équation

X == o -4- p cos 9 , y =: 6 -4- p sin 0,

de supprimer les termes nuls, et d'ordonner ceux qui restent suivant les les puissances ascendantes de p. On formera ainsi immédiatement l'expression

f (S) H- pf, (6) -♦-...

184I. Exemple \. — Soit

l'équation de la courbe. On trouve

dp lW

et les conditions qui caractérisent un point singulier conduisent au système

uaiquG

L'origine seule peut être un point singulier. Faisons donc, dans l'ëqualiou de la courbe, x = pcos9, y = psin9, divisons par p'; il vient

(sin* Q-t-a* cos* 0} — p' cos» 6 = 0.

L'équation

f (ô) = sin* 9 -»- o* cos» 6 = n'esl satisfaite pour aucune valeur rccUe de 6; f(9) est donc constamment >0, et comme p'cos* 3 est inTiniment petit, l'équation F{x, y)^0 ne peut être satisfaite en aucun point lie la circonférence du petit cercle. La courbe n'a donc aucun point dans le voisinage de l'origine des coordonnées : l'origine est un point conjugué.

On voit clairement qu'il en sera de même toutes les fois que l'équation f(0) = n'aura pas de racines réelles.

tas. Exemple IL— Soit F(x, y)=y — i» -*- x* = 0. Égalant k zéro les dérivées partielles de F(x, y), on trouve pour les équations d'un point singulier

y = 0, i(2x' — 1) = 0, ic'(x« — 1) = 0, équations auxquelles satisfait le système unique x = 0, y = 0, qui représente encore l'origine. Décrivant le cercle infiniment petit autour de ce point; remplaçant, dans l'équation de la courbe, x ety par pcosd, p sin 6, divisant par p*, on trouve

- F{x, y) = (sin» — cos* 0) -t- p» cos* 6 = 0.

L'équation

r{6) = sin' 9 — cos" = — cos 29 = est satisfaite par les valeurs

I Menons les rayons correspondants OA, 0Ai,OAt,

Aj : le terme en p' éUnl infiniment petit, F{x, y)

c peut s'annuler que pour des valeurs infiniment

I petites de f(9); les points appartenant à la courbe

ne peuvent se Irouver que iliins le voisinage des points A, Ai, Ai, Aj. Soit

toujours £ un angle très-petit, mais invariable : on a

el Comme f(9) donne son signe à F(r, y), p dtant infininicnl petit, il s'ensuit que F(i, y) change de signe, et s'annule par conséquent, chaque fois que la variable B franchit l'un des intervalles

"y a done un point de la courbe dans le voisinage de cliacan des points ^1 Ai, A], Ai; on voit sans peine qu'il n'y en a qu'un seul, et comme ^(*, y) se réduit a p* cos*6>0 en A, Ai, A», As, puisque f(6) y est nul, il est clair que F{x, y) s'annullc en deçà du point A, au-delà du point Ai, <!n deçà du point At, au-delà du point Aj. Deux branches de courbe, tan-. Bcntes respectivement aux droites AAi, AiAj, se croisent en : l'origine est un point multiple. (Les tangentes sont ici bissectrices des angles formes P'ti' les axes : de plus, chaque hrancfae présente une inflexion en 0). On verra sans peine que la même conclusion subsiste, chaque fois que l'cqual'Or» f(9) =0 admet des racines réelles et inégales.

■»M. Exemple III. — Soit la courbe

1** point

x=0, y=0 ** Wsfail seul aux conditions qui caractérisent un point singulier. Transfur- "■Ons comme dans les cas précédents; il vient

F{x, y) = p» (sin* 6 — p cos'' 0) = 0.

X.a fonction f(6)^sin'0 ne s'annulant que pour 6 = et O^t, le "^ '"de de rayon pne peut couper la courbe qu'en des points infiniment voisins de l'axe des x. Pour 6^±e, * est de même signe que sin' 9, c'est-à-dire |> 0. Er» A^ e = o^ F = — p*<0; il y a donc un point "C In courbe entre 6 = — s et 6 = 0; et un entre

^•=0 et 0=£. Pour9 = ir±E, F>0;en A(,9=it,

^^^p'^ 0; il n'y a donc aucun point dans le voisinage du point Ai,

puiM|tic F(x, y) est composé de deux termes positifs et ne peot s'ananln. Deux bi-unclics de courbe, s'arrélnnt au point (x = 0, y^O), ettaDgenUi Cl) ce point >i i'axe des x positifs : l'origine est un point de refrroiuKMnl th première fspèce. Eu général, il en sera de même quand l'é^iualiim 1(0) = aura ses lacines égales, et n'annuloni pas fi(6).

1»T. f:xem]ylel\'. F(x, y) == y* — 2yx» -H x» — ar» = 0. Tout point singulier doit snlisraire & eettfi é([ualion cl aux suivantes: x(—i!/ + 4x* — Sx») == , y — x' = 0, d'où l'on lire cette seule solution

<]ut repntscnle l'origine des axes. Posant x=p eos S, y:=psîn0, il vitu'

F(x, y) = p'(sin*0 — 2psinOeos*0+ p'cos*9 — p*cos''6) = 0,

L'équation

f{9) = siH'0 = O

u pour racines O^O, O^tt, ce qui montre que la courbe ne peutcouiwr le cercle de rayon p que dans le voisinage des points A et A| do l'axe dcsi. En CCS points, on asin6=0, F(x, y)=p*(l^p)>0; de même, pour 6=±:, B==Kdr.if f(0) est positif et donne son signe à F, donc F(x, y)>0. La fonction F ne manifeste doue jusqu'ici aucun ehangeffleol de signe propre A révéler l'cxislenee d'un point de I» courbe, mais on ne peut rien conclure, parce que, ^ une distance infiniment petite des points A et An sin est de même orijre que p; les trois premiers termes du développement de V sont clone de même ordre, et leur somme peut s'annuler dcui fois entre = et fl=E. Pour s'en assurer, on posera

sin 9 = ptf , tt étant une nouvelle variable, d'où

F(x, y)= p' (m' — 2(( eos* + eos' — p eos^ 9). Egalant k zéro le eoetliciciit de p^, on trouve

II' — 2« eos* + eos* e = 0, (k — eos' 9)» = 0,

d'où

M = cos' G , sin 9 = p cos^ > 0.

Les valeurs positives et inrinimeut petites de sin 9, déterminées par cett

équalion, correspondent sur la circonlcrenee h deux poinls a, ^ inGnimcnt Wisins respectivement de A et de Ai, au-dessus de l'axe (tes x : le premier jiinneF= — p"cos°6<0, le second F= — p"cos'6>0. F est donc compoM de termes positifs et ne peut s'annuler dans le voisinage du point |3, nais il change deux fois de signe, en deçi et au-delà du premier a, ce <]ui indique deux branches de courbe tangentes h l'axe des x positifs, au-dessus decïtaxe, et s'arrétant à l'origine des coordonnët-s.

L'origine est un point de rebroussement Je seconde espèce. On voit d'ailleursqu'il ne peut y avoir que deux briincbes passant en 0, parce que l'équation de la courbe est seulement du second degré en y.

ISS. Exemple y. F(x, t/) = (^* — x*)* — ar'sîn jc = 0.

(In point singulier satisfait à cette équation et à celles-ci : y(y' — x»)=0, ![%» — x») + 4j:' sin X -«- x» cos l] = 0. Considérons seulement les valeurs de x depuis x = jusqu'à x ^ ir : les xvh points qui satisfassent aux conditions indiquées sont

I* premier est l'origine. Décrivant le cercle de rayon p et posant x^peos 0, Î=psin0, on trouve

F{x, y) = p'[(sin' 9 — cos* S)* — eos* 6 sin (p eos 0)], "1, en développant sin (p eos 9) cl divisant par p*,

- F (r, y) = cos* 29 — pcos^fl + ^ cos'O

m L'^uïtion

f f (s) = eos» 28 =

I donne pour racines

soîcDl OA, OAi, OAi, OA] les rayons correspondants. A une distance angulaire très-petite £ de ces rayons, f(6) a une valeur finie positive, donc F(x,y)>0; la courbe ne peut 1 couper la circonférence que dans le voisinage des [ points A, A( , At , Ai. En ces poinls, F a le même signe que le terme du 1" ordre en p, — pcos'^O; donc, le signe — en A et Ai, le signe -h en Ai et A,. 11 n'y a donc aucun point de la courbe dans le voi- ' sinage de ces derniers, puisque le terme du premier ordre y est constam-

ment posilif et ne s'annule pas. Hais le cliangcmcnt de signe de F(t, ^) indique deux points, l'un en deçà, l'autre au-delà de A ; el deux autrci en dc^a et au-delà de Ai (on vérifie sans peine qu'il ne peut y en avoir phis de deuii; d'ailleurs, l'équation n'est que du 4~* degré en y). Niras trouvons donc quatre branches de courbe qui s'arrêtent au point O : deui sont tangentes à OA, de pari et d'autre; deux sont tangentes à OAi, aussi du part et d'autre. La courbe a donc à l'origine deux rebroussements de première espèce, dont les tangentes sont inclinées k iS" sur l'axe des x positifs.

Discutons maintenant le point (j; = - , !/^0). En décrivant le cercle

infiniment petit autour de ce point; posant, dansF{x, ^), x=— -4- pcos>,

y=:psinB, faisant les réductions et dévcloppont, on trouvera sueces- «ivcmcnt

%»y) = U*sin*e — ^l+pcosej —Q+pcosej cos(pcos«)

=p*sIn*O-Vsia«e0 ^pcoso)V0^peose)*(P-!H^^ - J^gJ^.)

— F{a;, 1/)=— / — sin*e + — cos*e )-f-7tpcose( — 2sin*e +— cos*6 1+- L'équation

((8)-Ï(-.in'8-vf;c.s.8)=0 donne

tg8-±î, ce qui détermine deux droites réelles également iO' elinées sur l'axe des x. Le point (x=-, y=Oj

est donc un point double, dont les tangentes 80»^ les deux droites définies par eette équation.

1S9. Ce qui précède sulHt pour servir de guide dans la discussio" des points singuliers. 11 pourra d'ailleurs s'en présenter d'autres, co**

rcspondantà des discontinuités des fonctions F, -r-i -^t et que Fond'*

cutera suivant la nature de ces fonctions dans le voisinage du point singulier. Si la fonction qui représente Fordonnëe de la courbe n'admet qu'une valeur pour chaque valeur de x, et qu'elle devienne discontinue, sans être infinie, en un point, celui-ci sera un point d'arrêt. Enfin, si l'ordonnée ne ces^e pas d'être continue, mais que sa dérivée : par rapport à a; passe brusquement d'une valeur à une autre pour une ; valeur donnée de x, un point saillant correspondra à cette discontinuité l de la dérivée, puisqu'il y aura changement brusque dans la direction de la tangente.

§ 3. ANALYSE d'une COURBE PLANE.

140. Nous possédons maintenant tous les éléments nécessaires à la discussion complète d'une courbe, donnée par son équation F(x, y)=0.

On cherchera d'abord à résoudre l'équation par rapport à x ou à y, afin «Tacquérir, par l'étude des variations de la fonction, une idée approxima- Hvede la marche de la courbe, du nombre de ses branches, de leurs limites, des points où elles coupent les axes coordonnés, etc....

Formant l'équation de la tangente, on déterminera facilement les points

où elle est parallèle, soit à l'axe des x, ce qui a lieu quand -p est nul;

soit à l'axe des y, ce qui suppose y- = oo : ces points répondent généra-

lamenta un maximum ou à un minimum, soit de l'ordonnée, soit de

l'abscisse.

Si Je courbe admet des branches infinies, on trouvera leurs asymptotes

P»r la méthode exposée au chapitre XIV.

On calculera d^y, afin de reconnaître, par le signe de cette expression, de çuci côté les branches tournent leur concavité, et de déterminer les points d'inflexion.

Enfin, on recherchera et l'on discutera les points singuliers de la courbe, si elle en possède, par la méthode dont nous avons donné divers exemples.

Exemple, La courbe qui a pour équation

y* — 96a«y« -*- iOOtt«x« — x* =

est symétrique par rapport à l'axe des x et par rapport à Taxe des y : il suffit donc de construire la portion de cette courbe comprise dans l'angle des coordonnées positives. £n posant

i/=.|/48aî±^/X. Or, on voit sans peine que

en sorte (jue X csl ncgaliT, et y imagiiiatie , enire les limites x=CcJ*' a;=8(i, nuxciiielles répondent les points A et B. Entre x=0 et x = 6(»a;*(3:*— 100tt*)<0, donc |/X< 48a*, les deux valeurs de y sont réelle»

I la plus grande, pourx=0, vaut a^96ouàpe a.

I ppès'J,8-o; elle dtooit jusqu'à y=oj/48=T'<

1 environ, pour x^^Ga (branehe DE); la plusp^-

I tite, nulle pour x^O, atteint la même valeuii

o(/48, pour i=6a (branche OE). Au-delà A*

x^=&a, l'une des valeurs de y eroit depwii

y=a[/48 jusqu'il l'infini (branche indéfinie FG-);

l'aulpe dceroit de y=aj/48 jusqu'à y^O pour aT=10a, puis dcvierit

imaginaire (branche FC). Les intersections de la courbe avec les axes sont

donc déjà connues (D, 0, C).

La dilTcrcntlation de l'équation donne

dy x(x* — SQq*) rfx ~ y (y* — 48a')" La tangente est parallèle à l'axe des x au poini D, où x=sO sans que y soit nul ; l'hypothèse x* = 50a' correspond à un point imaginaire ; l'hypotlièse x^O, y^O sera examinée plus loin. La tangente est parallèle i l'axe des y lorsque y* — 48a'=0 (en E et en Fj, cl lorsque y^Osaas que X soit nul (en C).

La méthode de richcrche des asymptotes conduit, pour la branche FG, à l'équation

y=i, qui représente la bissectrice de l'angle des axes. Pouf trouver les points singuliers, on posera

t/{y*-~ 48o') = 0, X (x* — bOa*) = 0.

On ne peut satisfaire ù ces équations et à celle de la courhe que par le système

^^* dunne rorigine. L'emploi du cercle de rayon p conduit à rëquation a« (i 00 cos« e — 96 sin« G) -4- p« (sin* G — cos* G) = :

potnt double; les tangentes aux deux branches sont déterminées par

l'équation

tgG

j/24 On tire encore de Téquation de la courbe

Sur la branche DE, le dénominateur est >0; le numérateur, égal à

— oOa* en D, à — oo en E, ne. peut changer de signe dans Tintervalle (car

il y aurait deux points d'inflexion et la courbe serait coupée en plus de

4 points par une droite; d^y est donc négatif, la concavité est vers les y

négatifs. Sur la branche OE, d*y, nul en 0, devient égal a + oo en £; il

est donc positif de en £, la concavité est du côté des y positifs. Sur la

branche FG, on verra de même que d^y <^0; sur la branche FC, d^y passe

de la valeur h-oo à — oo, ilya un point d'inflexion entre F et C, Les

branches qui se croisent à l'origine traversent leurs tangentes.

Les données précédentes suflîscnt pour la construction de la courbe.

Exercices,

Analyser les courbes suivantes, et discuter leurs points singuliers : t. (x*-hy*)*+a*(y^ — a;*)=i0. (Courbe en forme de oo , symétrique par rapport AUX axes ; point double à Torigine, deux branches tangentes aux bissectrices des angles des axes.) f. cos a; -Hcos y SB 2. (La courbe se réduit à un nombre indni de points conjugués, ^ satisfaisant aux équations

S. y* — oy*aî-4- 605' =0 (Courbe à deux feuilles et deux branches infinies; Torigine un point triple : une branche tangente à Taxe des a;, deux autres inclinées sur cet axe

d'un angle 6 =arc tg f ±% / £ ] ),

4. a?*-— 2ay5— 3o*y* — 2a'aj* -*- a* = (Trois points doubles -, x=zd, y=0;

ft. y'(2a?— a)H-o*a;* — ar* = (Courbe indéfinie dans le sens des a? positifs et néga-

a tifs; une asymptote a^=â parallèle à Paxe des y; une autre qui a pour équation

(œ-t- - I -z — i la courbe coupe l'aie des a h 90* e;

est un point de rcbrou s sèment de première cspice, la (ingénie coïncide avec l'aie dn y positifs).

S. (y — 31113')* — x^sin'x^O (CourLc serpcutanic i deux branches; rebi'OUSSODCiit de dcuxiènic espèce ù l'origiRe, langent à l'axe des x positifs).

9. y> + ax* — i*xif*^0 (Rebroussement de première espèce i l'origine, («ngenti l'aie des x positifs ; en outre, par ce même point, passe une branclie taogenle à l'ue des y et offrant une inflexion).

8. ir* -t- l'y' — &iT*y -*- l'y* = (Courbe à deui feuilles limitas ealre x = =b2aV/2; l'origine est un point double; les deux branches ont même taDgenle, l'axe des z).

». [y — ç(r)]« — (a — a)i'+(i) = 0; p, q entiers et positifs, q pair. [Sip>), le point x=.a, j/^f(a) est un point de rebroussemcnl ; du 1" genre si p ^Sf; Ju second

si p>2irl.

4«. y — x(iv = (Point d'arrêt à l'origine des aies).

>I. y= f (Point saillant a l'origine; les tangentes ont respectiTemcnl poui

cocfllcients angulaires et 1)-