Ç À. DU SENS DE LA CONCAVITÉ

489. Lorsqu’en un point M d’une courbe, la tangente MT (fig. 15) n’est pas parallèle à l’axe des y, on dit que la courbe tourne en ce point sa concavité du côté des y posihifs ou du côté des y négatifs suivant que, dans le voisinage du point M, la courbe se trouve par rapport à la tangente MT du même côté que l’axe des y positifs ou que l'axe des y négatifs.

Pour distinguer par l’analyse ces deux cas l’un de l’autre, on observe que la différence 9 entre l'ordonnée de la courbe et celle de la tangente MT, pour une même abscisse, est constamment positive dans le premier cas et négative dans le second, pour les points suffisamment voisins de M. Soient

donc

y = f(x) l’équation de la courbe, (x, y) les coordonnées du point M, (x + h, y') celles d’un point voisin M’, k-étant positif ou négatif et arbitrairement petit. Nous aurons, par le théorème de Taylor, f(x), f’(x) et f’’(x) étant fonctions continues dans le voisinage du point M,et0 > oet < 1,

= fe) =) A fe) EP (+ 0h)

Fig. 15

L’équation de la tangente en M,

tony UT) NÉE)

donne, pour l’ordonnée de cette droite qui répond à x + h,

d’où h?

St D 0 (x + 6h).

Si 4 (x) n’est pas nul, 1 (x Oh) sera de même signe que 12% (x)

pour À très petit numériquement, et comme k? est positif, quel que soit le signe de h, le signe de d sera celui de f/’ (x). On en conclut que la courbe tourne sa concavité du côté des y positifs ou du côté des y négatifs, en un point donné, suivant que la dérivée seconde ro dre est positive ou négative en ce point.

490. Si9 changeait de signe en même temps que k, en un point déterminé M de la courbe, la courbe traverserait sa tangente en M; le point M serait ce qu’on nomme un point d’inflexion (fig. 16). La discussion précédente prouve qu’un tel point ne peut exister que si f(x) — 0. On trouvera donc les points d'inflexion d’une courbe en cherchant ceux dont les coordonnées Fig. 16.

vérifient l'équation

Il faudra toutefois que f”’’ (x) soit différent de zero, sans quoi on verrait, en poussant plus loin le développement de y’, que d sera de même signe que f(x) quel que soit le signe de h, et la courbe ne traverserait pas sa tangente; etc.

On observera encore que la théorie ci-dessus suppose la continuité des premières dérivées de y; il pourra donc se trouver des points d’inflexion non compris dans la règle précédente, pour les valeurs de x qui rendent discontinue f” (x) ou f”’ (x).

Exercices.

4. Cycloïide allongée : æ = au — b sin w, y —a—beos « (Ch. XIV, ex. ®). dy b(acos w —b) da (a — b cos w)* | s b : de b > De w—0 à «w — arc cos 1 concavité vers les y positifs. Pour cos o — 2 point

d’inflexion, Au delà, concavité vers le bas.

Points d'’inflexion des courbes suivantes :

4] 2a 2. ns ee | R. æ—-;: Y—= —*° # r 3 9