FE

Considérons une racine # de cette équation, et posons, { étant une variable,

u—k+=s d'où limé— lim (y— kr)

HH—1e) Substituant cette valeur de w dans l’équation (2), appliquant la formule de M. Bonnet et ayant égard à l'équation f (k) — 0; puis multipliant par x, nous aurons (0 0 < 1)

HORDE TTCES A CRE CEE

Si l'on a f(k) > ou < 0, fi (k) > ou <o, « < 1, il sera impossible qu’une valeur indéfiniment croissante de x donne une valeur finie pour lim t, il n’y aura aucune asymptote pour la racine k considérée. Si fi (k) —oousi « > r, on aura { — lim { — 0, l'asymptote passera par l'origine. Enfin, si l’on suppose à — 1, f1 (k) > ou < 0, on aura, en faisant tendre x vers l'infini,

lim [e f° (k) + fi (1 = 0;

() it

Si l’on avait f” (k) — o, on pousserait jusqu’aux termes du second ordre le développement de si u), ce qui donnerait

for (+) <u<, et en multipliant toute Re ne (2) par x°, on aurait Lo l ï CR l f (+ai)+ ir (Cinmese ar vie (e+es)+. —

Si fi (k) n’est pas nul, il faudra que « soit égal ou supérieur à 2 pour qu'il y ait une asymptote; la valeur correspondante de ! sera zéro si a > 2, et si & == 2, On aura

ni 2u0) FO Il faudra donc que le second membre soit positif, auquel cas / admettra deux valeurs réelles, égales et de signes contraires. On continuerait la discussion de la même manière si d’autres tre larités se présentaient. Soit, comme exemple, la courbe ay? + 50°y + 4x5 Hay — 9 — 0.

Divisant par x°,ona

QE su 4 += 0.

On a ici f(u) = u? + su +4, fi (u)—= u, « = 71. L’équation en k est donc

k° + 5k + 4 — 0, et a pour racines K—— 1, k — — 4. Comme « = 1, l’équation (3) s'applique, on a LR ree 2k+ 5

ce qui donne respectivement pour l les deux valeurs { — 1:3,/——4:3. La courbe a donc deux asymptotes non parallèles à l’axe des y,

1 £ pe A — — CT ——.

ERA ira RE re : 3

En outre, l'équation de la courbe, résolue par rapport à y, donne deux valeurs de y qui tendent respectivement vers + æ et vers — lorsque

x tend vers zéro en restant positif; l’axe des y est une asymptote dans les deux sens.

Pour les courbes transcendantes dont l’équation ne serait pas réductible à la forme (2), il faudrait procéder directement à la recherche de lim (y : x) et lim (y — kx).

488. Coordonnées polaires. — Si l'équation de la courbe est donnée en coordonnées polaires r ct 0, et si la courbe admet une branche infinie MZ(fig. 14) douée d’une asymptote AZ, nous abaisserons du pôle O, sur l’asymptote, une perpendiculaire OA — d, et projetterons le point M en P sur OA. La distance PA du point M à l’asymptote ayant pour limite zéro, lim OP — OA — ), donc

lim (OM sin OMP) — OA.

Comme OM = r tend vers l'infini, il faut que sin OMP et par suite OMP ait pour limite zéro. Menons par le pôle OZ; parallèle à AZ, et soit « — XOZ, l’angle que fait cette parallèle avec l’axe polaire. L’angle OMP — Z,OM = Æ (0 — à); on a donc

Fig. 14.

lim(ô—x)—o, lim0— x; la direction limite du rayon vecteur, quand le point M s’éloïgne à l'infini

sur la branche de courbe, donne la direction OZ; de l'asymptote. De plus, l’équation ci-dessus donne

d= + lim r sin (9 — «) — + lim r (0 — à), car sin (0 — x): (0 — x) a pour limite l’unité. On observera que 0 — « est > ou < o suivant que la rotation de OZ, vers OA est dans le sens où 0 croit ou en sens opposé; on peut donc prendre simplement

Ô— lim r (9 — à),

en se rappelant que le signe + de d répondra au premier cas, et le signe — au second. On aura ainsi les éléments nécessaires pour construire l’asymptote AZ dans sa vraie position,

Réciproquement, si 0 et r (0 — x) tendent vers des limites déterminées a et À lorsque le point M s’éloigne à l'infini sur une branche de courbe, cette branche a une asymptote AZ déterminée par ces valeurs de « et de 9, car l’équation

0 — Jim r (0 — à) — lim r sin (9 — à) — lim OM sin OMP

montre que la distance du point M à cette droite a pour limite zéro.

Exemple : Soit l'équation d’une conique rapportée à un foyer comme pôle P

F—ecos 0

T —= Pour que r croisse à l'infini, il faut et il suffit que 1 — € cos 0 tende vers zéro, donc COS & —— € .

Cet angle « ne peut être réel si € < 1, l’ellipse est exclue. Pour e > 7,

l’équation donne deux valeurs pour l’angle x, deux directions OZ: également inclinées sur l’axe polaire. Ensuite on a

— à p l 0 — ————— — A 7 PME den esinæ

d’après la règle du N° 400. Si — 7, sin « — 0, il n’y a pas d’asymptote, ce qui exelut la parabole. Pour l’hyperbole, € © 1, on a deux valeurs finies