S 2. DES POINTS SINGULIERS
194. Soit F (x, y) — o l’équation d'une courbe plane rapportée à des axes rectangulaires OX, OY; supposons F (a, b) = o, le point A (a, b) appartient à la courbe. Supposons de plus que F (x, y) et ses dérivées partielles F; (x, y), F; (x, y) soient continues dans le voisinage du point (a, b). D’après le théorème du N° 460, si F, (a, b) n’est pas nul, il passe par le point À une branche de courbe simple et continue qui vérifie l'équation F (x, y) — 0, et qui a en A et dans le voisinage du point A une tangente déterminée dont la direction varie d’une manière continue. Le point A est alors ce qu'on appelle un point ordinaire, à moins que la courbe en À ne traverse sa tangente, ce qui (890) donnerait un point d'inflexion.
Si l’on a F,(a,b) — o, mais F; (a, b) > o ou < o, on pourra raisonner par rapport à x comme on a raisonné par rapport à y au N° 8460, et l’on verra sans peine que la conclusion précédente subsiste, avec cette seule particularité que la tangente en A scra parallèle à l’axe des y. Si donc nous nommons points singuliers les seuls points où la courbe ne jouit pas, dans le voisinage du point À, des propriétés énumérées plus haut, nous pouvons énoncer le théorème suivant :
Lorsque la fonction F (x, y) et ses dérivées partielles F;(x, y), F,(x, y) sont continues dans le voisinage d'un point À (a, b) qui vérifie l'équation F (a, b) —: 0, ce point ne peut étre un point singulier à moins que les équalions
(0 be (a bo NE (th)
ne soient satisfaites simultanément.
Donc, pour trouver les points singuliers d’une courbe, il faudra chercher s’il existe des systèmes de valeurs pour (x, y) qui rendent discontinue lune des fonctions F, F7, F,, ou qui satisfassent aux équations F(x,y)= 0, F;(x, y) — 0, F,(x, y) = 0.
492. Considérons donc un point À (a, b) qui vérifie ces conditions, en sorte que l’on ait OF OF Dati DE et cherchons à discuter la nature de la courbe dans le voisinage de A. Pour cela, nous décrivons de A (fig. 17)comme centre, avec un rayon p que nous pourrons supposer aussi petit que nous voudrons, un cercle; soient M un point de ce cercle, © l'angle du rayon AM avec AX, parallèle à OX, compris entre o et 27; les coordonnées du point M seront a <- p cos 6, b + bp sin 8, et pour que M appartienne à la courbe, il faut et il suffit que Ô vérifie l'équation
F (a + 0 cos 0, b + p sin 0) — o.
Développons le premier membre suivant les puissances de p par la formule de Taylor, [155, éq. (2)] en supposant les dérivées part'elles de
F (x, y) continues jusqu’au cinquième ordre inclusivement ; nous aurons, vu les relations (1),
0°F 0°F DÉS CF | 2 cos MEN EU UE )
5F su (cost 0 ANT) TT ue mnt
pa CARE És Te APT p +. STE ce
Il faut, dans les dérivées partielles du dernier terme, remplacer x, y par a + Àp cos 0, b + Àp sin 8, À étant > ovet < 1. Cette équation divisée par p°? donne un résultat de la forme
(2) LO)+ ef 6) + p° C6) + p5 9 (6, p) — 0.
[ (8), fi (8), fa (8) étant des fonctions entières de sin 8, cos 8, donc, des fonctions continues de 0; @ (9, p) une fonction continue de 0 et p qui ne peut surpasser en valeur absolue un nombre fixe dans un cercle de rayon déterminé 0. On observera de plus que /f{(6), f:(0) ne changent pas, non plus que leurs dérivées successives, lorsqu'on change 6 en
sf + DEC
6 + r, et que fi (6) et ses dérivées changent seulement de signe.
La propriété caractéristique du premier membre de l'équation (2) est celle-ci : pour une valeur donnée de 6, on peut toujours supposer p assez petit pour que la somme des trois derniers termes soit moindre numériquement qu'un nombre donné €. Donc, si f(8) ne s’annule pour aucune valeur de 0 dans un intervalle (,, @), W/(6) restera supérieur à un nombre fixe, et si p est suflisamment petit, ie premier membre de (2) restera de même signe que son premier terme de 0 — 60, à0—6etne s’annulera pas; il n'y aura aucun point de la courbe sur la circonférence de rayon p entre 0= 0 et 6 — 0: De là résultent les conséquences suivantes :
1. Si l'équation f(8) — o n’a pas de racines réelles, la courbe n’a aucun point autre que À dans l’intérieur du petit cercle ; A est un point isolé ou conjugué.
Exemple :
F (x, y) = y? + ax? — xt = 0.
L'origine (x = 0, y — 0) vérifie les conditions (1). L’équation (2) est ici sin? 9 + a? cos? 9 — p? cost 0 = 0, f(8) = sin? 9 H a? cos? 9 ne s’annule pour aucune valeur de 8; l’origine est un point conjugué.
193. — II. Si l'équation / (9) — o a des racines réelles, le premier membre de (2) ne pourra s’annuler que pour des valeurs de 8 qui rendent f(6) très petit, c'est-à-dire des valeurs très-voisines des racines de l'équation f (0) = o. Si donc on mène les droites ATo, AT, ... dans les directions données par ces racines, les points de la courbe ne pourront se trouver sur le petit cercle que dans le voisinage des points To, Ti, … et les sécantes menées du point À à ces divers points feront avec les directions respectives ATs, AT,, . des angles tendant vers zéro en même temps que p. Il suffit donc de chercher à vérifier l'équation (2) par des valeurs de 6 de la forme 65 + +, & étant une racine réelle de l'équation f (8) = o, x un angle positif ou négatif qui ne pourra être que très petit lorsque p sera lui-même très petit.
L’équation (2) devient par cette substitution
G) fBo+- a) pf0 Go + 2) + p'fa (Bo à) + pp (80 + à p) — 0. Mais le théorème de M. Bonnet est applicable à f(), et f(0o) — 0, donc
[Bo + à) — af” (Bo + ©), « désignant une quantité qui tend vers zéro avec «. Donc, l'équation (3) deviendra
(4) af (@o +0) + ph (00 + à) + p'fa (Bo + à) + p5e (Bo + 0, p) = 0 et nous supposerons d’abord f” (8) > ou < o. Choisissons un nombre € assez petit pour que f” (9 «) soit de même signe que f/(%) pour a M (— €, He), et faisons décroitre p suffisamment pour que le premier membre de l'équation (4) ait le signe du premier terme pour a = + e; il aura donc des signes contraires pour a = — €, a — +6, et s’annulera pour une valeur de à dans l'intervalle (— €, L €), La courbe aura un point M dans le voisinage du point To, et un seul, car si le premicr membre de l'équation (2) s’annulait deux fois, sa dérivée
fE)+ ef: ®) ++
s’annulerait, d’après le théorème de Rolle, pour une valeur de 8 entre
9% — & et do + &, ce qui est impossible si f”(@) n'est pas nul et si p est très petit.
Ces conclusions subsistant pour toute valeur de p inférieure à un certain nombre 9, la courbe présente un are simple MA qui, d’après la remarque faite ci-dessus, est tangent en À à AT:.
On tire de l'équation (4), pour la valeur approchée de à qui vérifie celte équation,
f” (Bo)
Le signe de « est opposé à celui du rapport fi (60) : f” (00), si nous admettons d’abord que fi (do) ne soit pas nul. Ce signe fait connaître de quel côté de la tangente AT, se trouve l'arc AM.
D'après la remarque faite (492) sur les fonctions f (8), fa (8), …, 6 +- 7 sera une autre solution de l'équation f (&), et déterminera une direction AT’ opposée à AT,. On ferait voir comme ci-dessus qu’il existe
un arc de courbe simple AM’ tangent en A à cette droite AT’; la valeur correspondante de « sera
férn PO
donc a’ sera de signe contraire à «, ce qui montre que AM, AM’ sont du même côté de la tangente commune TT’. Il n’y a pas d'inflexion.
Chacune des racines réelles de l’équation f (8) — o donne lieu à une discussion analogue ; à chacune répond une branche de courbe simple passant par le point A et ayant sa tangente propre en ce point.
Le point À se nomme un point multiple.
294. III. Nous avons admis que /fi(%) n'était pas nul. S'il en était autrement, on aurait fi (00 + x) — à f; (804 w’), ©’ tendant vers zéro avec «, et l'équation (4) serait remplacée par celle-ci,
à f' (Bo + 0) +-pa fi (Bo + 0°) + p° fa (Bo + à) + pr p (Bo + ap) = 0: L'existence des ares MA, M'A tangents en À à la droite TT’ se démontrerait comme plus haut, mais la valeur approchée de « étant ici 225 f2 (do) 9 (6) A f &)° Ù
et fe (00), f! (8) ne changeant pas par le changement de & en 6 + 7;
æ' serait de même signe que «, la branche MAM traverserait sa tangente TT” et aurait un point d'inflexion en A.-Exemple :
y? — xt + xt = 0.
L'origine (x — 0, y — 0) vérifie les conditions (1), l'équation, (2) se réduit à sin? 9 — cos? 0 + p? cost 0 — 0; F8) = sint.0 — cos 0, f:(8) —o, fs: (8) —.cost.8,
L'équation f (8) —,0 admet quatre racines réelles
Ts As. SE de Na 7 TN FN PPT ENT NIE on a donc deux tangentes ToT”, TiT”’ (fig. 18) se coupant en O, également inclinées sur les axes. L'origine est un point double. L'équation (6) donne cos do , js 4 Sin donc à < o pour = 7r:4 et do = 57 : 4, « > o pour & — 37 : 4 et do —7Tr:4; les deux branches ont chacune une inflexion au point O.
4195. — IV. Considérons le cas où f” (0) — 0, et où l’équation (5) devient impossible. En poussant plus loin le développement de f (8 + x) dans l’équation (3), on aura, f (60) et f” (do) étant nuls,
QG) & f" Go + 0) + 2pf1 Go + à) + p'fa (Po + à) + 2p5p (Go + à, p}= 0, « tendant vers zéro en même temps que &. Si f/’ (6) n’est pas nul non plus que f1(0), on pourra supposer < assez petit pour que f”’ (8 + w), f1(6o—+ x) soient de même signe que f’(80), f1(00) respectivement, entre a=——e€ et «a ——<+e,et p assez petit pour que 4° le premier membre de (7) ait le signe du premier terme pour «—Æ+e; 2 la somme des trois derniers termes ait le signe de f19(o +- x) dans l'intervalle (— €, + €) de «x. Donc
4° Si f/(@o) et f1(8) sont de mème signe, positifs par exemple, le premier membre de (7) restera de même signe que ff” (d0) de & — — € à a — + €, et ne pourra s’annuler; la courbe n’aura aucun point dans le voisinage de To, donc, aucune branche tangente en À à AT;
Fig. 18.
20 Si f//(60), f1(00) sont de signes contraires, le premier membre de (7) aura le signe de f’/(0,) pour «= + €, le signe de f1(9,) pour « — 0; il changera de signe entre «a——e€ et x —0o; entre a—O et «——+}e, la courbe aura un point de chaque côté de Ts, donc, deux arcs de courbe MA, M,A (fig.19) toucheront AT, en À, de part et d’autre de cette tangente. Il n’y en aura pas davantage, car si (8) + pf1(9) + +. s’annulait trois fois dans l'intervalle (— €, €) de «x, sa dérivée seconde devrait s’annuler, ce qui ne peut se faire si f”” (6) est > ou
