NO

Les valeurs approchées de x sont données par la formule

ar" fa (05) rer

et sont réelles et de signes contraires dans l'hypothèse actuelle.

3° Lorsqu'on change 4, en 8, + 7, fi (6,) change de signe et f/’.(,) ne change pas, donc, si dans l'équation (7) f’’ (6,) et fi (60) étaient de signes contraires, ils deviendront de même signe et vice versa. Done, sur le prolongement AT’ de AT;, il y aura permutation des cas 4° et 2 l’un dans l’autre. Il y a donc toujours deux branches de courbe tangentes à la droite T, T’ de part et d’autre au point A, s’arrêtant toutes deux à ce point : c’est un point de rebroussement de première espèce.

Exemple : y? — x5 — 0. L'origine O vérifie les équations (1); l'équation (2) est

sin? 0 — p cos5 0 — 0,

f(6) —0o a pour racines o et x; pour Û—0 on a f(8,)— 0, f’ (8) — 2 sin 4, cos 0, = 0, f” (00) — 2 (cos? 9, — sin? 06) = 2, f1 (0) — — cos$ 6, — — 1; fi (0) ct f”’ (6,) sont de signes contraires; pour 4, — 7x ils sont de même signe; le rebroussement est situé du côté des x positifs; les valeurs approchées de « sont + Ve, — V/e.

496. -— V. Considérons actuellement le cas où fi (8) — 0. Il faudra développer, dans l’équation (3), f, fi et fe suivant les puissances de «, et en ayant égard aux équations g

f@o) = 0, f(@) —=0, fi(&) = 0,

"oÙ—

on trouvera, w, ©,’ désignant des quantités qui tendent vers zéro avec a, (8) {SP GO E à8 P" (Be a) + 200: fi (Eu) + pa fé (En + 0) (20? fa (00) + 2p°a f} (00 + ®°’) + 2p5 p (00 + à, p) = 0, ou, en posant à — Le SR par 0°? f”” (0o), u? 2 f2 (Bo) SA 4 ® (Go (8') Via AL ee u + fil (00) Sr ne fr: G)! (Go +- y P 20 f{ (+ 0 a 1 [Bo + @') Hu f” (Bo + w)] — 0.

On raisonnera comme dans les cas précédents, Si l’on attribue au

rapport w de « à p une valeur finie, déterminée, on pourra toujours supposer p assez petit pour que le premier membre de l’équation (8) ait le signe du trinôme

2/4 (Bo (to), RURCUA (9) Sr UM (8 7) LUZ (00)

Donc 4° si cette expression ne s’annule pour aucune valeur finie de w, l'équation (8) ne sera vérifiée, pour de très petites valeurs de p, par aucune valeur de «. La courbe n’aura aucun point dans le voisinage de T, sur le petit cercle, aucun arc langent en À à la droite AT. Il n’y en aura aucun non plus tangent à AT’, car le changement de 6, en 8, + x ne fait que changer le signe du second terme du trinôme (9), les racines restent imagi-

Fig. 20, naircs.

90 Si le trinôme admet deux racines réelles et inégales, il changera deux fois de signe lorsque l’on fera varier w, et l’on en conelura que, p étant très petit, l'équation (8') admet deux racines réelles pour w, u, et w, auxquelles correspondront deux valeurs réelles %y = Puo, 4 — pus de a; la conclusion subsistera en changeant 6, en0,+-7; la courbe présentera donc deux branches tangentes en À à la droite TR T,T’ de part et d'autre du point A ; elle aura la forme de la figure 20 ou de la figure 21 suivant que ces racines wo, u, seront de même signe ou de signes contraires.

4197. — VI. Enfin, si le trinôme (9) a ses racines égales à une même racine %, nous développerons ® (9, p) dans l’équation (2) et, en désignant

par /f: (0) le premier terme du développement, il est facile de voir que le premier membre de l’équation (8') pourra se mettre sous la forme

Go) Qu) 3 Eu 2) nt fe Ou) au f4(8)-+ fs (0) +0,

Q désignant une quantité que l’on peut rendre aussi petite qu’on le veut en supposant p suffisamment petit, pourvu que # conserve une valeur finie invariable. Cette expression (10) sera positive en même temps que son premier terme, si (u — %)° a une valeur fixe différente de zéro et

si p est pris très petit. Pour uw — u,, l'expression (10) se réduit à

O0 gui MP C0) + a AB) a fa (Be) + 25 (Po) + et nous avons encore à distinguer trois cas :

4° Si l’expression (11) est positive, on reconnaît que l'expression (10) ne peut changer de signe pour aucune valeur de w, en supposant p suffisamment petit, et qu'aucun arc de courbe ne touche la droite AT, en A, dans le sens AT,. |

2e Si l'expression (11) est négative, l’expression (10) change deux fois de signe, pour des valeurs très petites de p et pour des valeurs de w, l’une plus petite, l’autre

plus grande que #,. On en conclura que

fig. 22. l'équation (8) admet, pour «, deux racines réelles, très petites à cause de la relation « = pu, et dont les valeurs approchées sont

autel )/ — fe Lui") nf (Boau fGD ar (Ge

La courbe a done deux branches MA, M.A (fig. 22) tangentes en À à la droite AT, placées du même côté de cette droite, et qui ne se prolongent pas au delà du point À. En effet, si l'on change 0, en 69 + 7, le second terme du trinôme (9) change de signe, uw, est remplacé par — %5; fo), f'’ (85), f; (8) ne changent pas, f4 (@) et fs (0) changent de signe, la quantité sous le radical change de signe et les valeurs de à deviennent imaginaires. La courbe présente, en A, un point de rebrousement de deuxième espèce.

. Remarquons que, dans le cas 4°, le changement de 6, en 0, + 7 à pour effet, au contraire. de changer le signe de l’expression (11), et de rendre réelles les deux branches tangentes à T, T’ du coté AT’. La courbe a done aussi, dans ce cas, un rebroussement de deuxième espèce, mais placé en sens contraire du premier.

5° Enfin, si l’expression(r1) s’annulait encore dans sa partie principale, il faudrait pousser plus loin les développements suivant le puissances de p et de « et procéder de la même manière.

Exemple : Y — 2yX? + x — à — 0.

L'origine satisfait aux conditions (1). L’équation (2)

sin ?0 — 29 sin 8 cos* 0 + £? cos! 8 — p5 cos 8 — 0,

donne f (8) = sin? 0, fi (8) = — 2 sin 0 cos? 6, f2 (0) — cost 6, fs (8) — — cos 0. Les racines de f (0) — o sont o et x. Pour 8 — o, on a f! (8) = 0, f1 (05) — 0, et l'équation en « devient

u—2au+i1+p(—1+Q)=o, ou (u—1}+p(--1 +Q)—o, les racines du trinôme (9) sont réelles et égales à l'unité; d’après ce qui précède la courbe a à l’origine un rebroussement de deuxième espèce tangent à l’axe des x du côté de x positifs et au dessus de cet axe, puisque la racine double du trinôme est positive. 198. L'équation (2) peut encore offrir d’autres particularités. Ainsi, si l’on avait

OUT RAR TTL ETES OT LR

il s’ensuivrait identiquement f(f) — o quel que soit 8. L'équation (2) admettant le facteur p, se réduirait à

[1(0) a pf2(6) ar p?p(8, p) — O;

et l'équation f,(8) — o étant du troisième degré en sin 0 ou cos 6, pourrait admettre six racines réelles pour 0; on aurait en général trois branches de courbe se coupant au point A, qui serait un point triple; etc. La méthode suivie précédemment indiquera assez comment il faut procéder dans ces cas plus compliqués.

Nous traiterons encore l'exemple suivant :

(x? — y?) — x! sin x — 0.

Si l’on se borne à considérer la portion de la courbe entre x —o et x—", On trouve seulement deux points qui vérifient les conditions (1), savoir : (x — 0, y — 0),

T (x — EE oO).

Pour le premier point, l'équation (2) est

(cos? 6 — sin? 6)? — cos* 8 sin (p cos 8) — 0, ou, en développant sin (p cos 0), cos? 20 — p cos® 0 + 05 p (9, p) — 0.

On a donc

Fig. 23. [(8) = cos? 20, fi (0) = — cos 0, fa (0) = 0,

et les racines de l'équation f (9) — 0 sont

ou ne 00 + T, Gi + Tr.

Pour la première, on trouve

PÉ)=o, fH)=S8 fo) =—2";

on est donc dans le cas du N° #95, 2°; la courbe a un point de rebroussement de première espèce à l’origine, la tangente faisant un angle de

| wo

45° avec l’axe des x. Pour la valeur 0, fi (01) — 2 ?, il n’y a donc aucune branche tangente à la direction correspondante, mais il y a un point de rebroussement de première espèce sur la direction opposée. Pour le second point singulier, on substituera dans l'équation de la

courbe

x =" —+ceosb, y = p sin 6, et l’on développera. On aura ainsi 14 À T à :

(E-+ecos6) Et cos (co 9] — 2p° sin? (74-0060) +0" sinti—0,

puis, en développant cos (op cos 6) et réduisant,

L'équation f (9) = o a pour racines T (g6— +»,

ce qui donne deux tangentes également inelinées sur l’axe des x; comme fi (80) et f” (%o) ne sont pas nuls, on à ici un point double.

4199. Comme on l’a remarqué, il peut se rencontrer d’autres points singuliers tenant à des discontinuités dans les fonctions F (x, y), F:(x,y), F}(x, y), etc..., mais on n’a pas de règles générales pour cet objet. Nous observerons seulement que si y— f(x) est l’équation d’une courbe, et si f(x) est une fonction simple qui cesse d’être réelle, sans devenir infinie, pour une valeur «a de la variable x, la courbe s'arrêtera brusquement; elle aura un point d'arrêt. Si la fonction f(x) reste continue, mais que le rapport Ay : Ax tende vers deux limites différentes pour Ax>oet pour Ax <o, en un point de la courbe, ce point sera un point saillant, la direction de la tangente variera brusquement.

On peut remarquer encore les points de dédoublement signalés par Plateau(t).

Exercices.

Analyser les courbes suivantes et discuter leurs points singuliers

a. (2% + y) + a? (y? — x) — 0. (Courbe en forme de wo , symétrique par rapport aux axes; point double à l’origine, deux branches tangentes aux bisectrices des angles des axes coordonnés).

2. yt — 96 a?y% + 100 a2x — xi — 0. (Courbe au diable (fig. 24), Syÿmétrique par rapport aux axes; une branche fermée en forme de 8, avec point double à l’ori-

gine, (8 0 — +5: V/24; deux autres branches s’éten-

dant à l'infini; deux asymptotes y — Æ x ; quatre points

d'inflexion dans les intervalles (x = Æ 8a, x = Æ 10 a). 3. Cos x + cos y —2. (La courbe se réduit à une Fig. 24.

infinité de points conjugués, donnés par les équations æ = + 2ix, y = + 21/7,tet i’

entiers).

4. [y — p(x)f — I. sin ax — 0. [La courbe se réduit à une infinité de points conju-

x T 2nT : BA , gués, aux abscisses x — m 2 + (» entier) distribués sur la courbe y = + (x)].

5. y*— ay?x + bx$ — o. (Courbe ayant deux feuilles du côté des x positifs, entre les droites x — 0 et x — a? : 4b, et deux branches infinics du côté des x négatifs, l’origine

(1) Bulletin de l’Académie R, de Belgique, 2° série, t. XLUT, p. 255,

est un point triple; une branche tangente à l’axe des y, deux autres inclinées sur cet axe, 180 =+Vb: Va. &. œt— 245 — 3a%y° — 2u%x° + a! — 0. (Trois points doubles : x — a, y —0; T——0, WE 0; X — O, —— a), 2. yS{2x — a) + «2x? — xi—0o. (Courbe indéfinie dans le sens des x positifs et négatifs, une asymptlote x — a : 2 parallèle à l’axe des y; une autre ayant pour équa-

. r+ a tion 25 y=n+e. La courbe coupe l'axe des æ sous un angle droit en x — a,

æ— — a. L'origine est un point de rebroussement de première espèce, la tangente coïncide avec l’axe des y positifs).

8. (y — sin &)° — 25 sin* æ — 0. (Courbe serpentante à deux branches, tout entière du côté des x positifs. Rebroussement de première espèce à l’origine, la tangente inclinée à 45° sur l'axe des x; une infinité de points doubles pour æ—nT7, y—o.)

9. y + axt — b?xy — 0. (Rebroussement de première espèce à l’origine, tangent à l’axe des x positifs. En outre, par ce point passe une branche tangente à l’axe des y et offrant une inflexion).

10. xt + 2°y3 — Gax*y + ay? — 0. [Courbe à deux feuilles limitées à æ — + 2a V'2. L'origine est un point double dont les deux branches sont tangentes du même côté à l'axe des x (186, 2°)].

22. [y— 9 (x)]P — (x — a)ÿ(x) — 0, p et q entiers et positifs, p est pair. [Si g > p, le point x = a; y —# (a) est un rebroussement, de première espèce si q < 2p, de deuxième espèce si g > 2p].