Courbe représentée par les équations x? æ° Ta Ga

intersection de deux cylindres paraboliques.

Cosinus directeurs de la tangente :

a x y Mr re arr PRRLÉIER IEEE a Plan osculateur :

Ëy nx © rar: Ga? |

Normale au plan osculateur :

y CE a+ y

Rayons de courbure et de torsion :

Normale principale : = —£8, u=x—7y, » —8.

Centre de courbure :

ne Zi = X —+- 47.

< Ta—=—3% Y=Y+

3. L'ellipse sphérique est le lieu des points M tels que les arcs de grand cercle menés de ces points à deux points fixes F et F” donnent une somme constante.

Trouver la tangente et le plan normal.

À. Soient O le centre, a le rayon de la sphère, 2: l’angle FOF’, 25 la somme des ares ME + MF’. Prenant OZ normal au plan FOF’, OY passant par le milieu de Parc FF’, on a pour équations de l’ellipse sphérique

E—s)z(W—y)y G—2)z — tg* 5 a tg° € 18 5 — tg°? e”

Plan normal : (5) (2-5) 60:

4, La courbe, intersection des deux surfaces

sin? € cos? € RER x RTS Sin” 5

Tangente :

at y? 2° ide 1, a(bt—ct)l,æ + Bb (ct—o)l.y+e(at—L2)l1.z=k,

PER d . > ON à pour les équations de la tangente et du plan

Us Te den (DICO e-pe(- DATÉE a)+e-oe(%-3)=0

Différentielle de l'arc :

TUE R. Posant Then +

normal

ds — nee (r= a + y? +2).

On projette une courbe sur un plan passant par la tangente en un point Met incliné de l'angle 8 sur le plan osculateur en M, Les rayons de courbure R et R; de la courbe et de sa projection sont liés par l’équation

R—R, cos 0.

6. Démontrer les formules d) CHER, EN | Ye d ) Z es PÉMRRPATEA RL SR — ds Ram T ds Rap T de RAT

3. Les équations d’une courbe étant données sous la forme x —(s), y —=%}(s),

z = Ÿ (s), démontrer les relations

g'? 122 + 44 r' + d'p — 0; p'22 + te + VE Re =

(2 r? = R’ L , 111 ’ I I AE he p"o"!! "x , ! Ÿ gr! Labs RTE A KT CM 12 % 9 Ÿ DIRES UT | R: , dR ou R’ — % et A— (0472 ! — ÿl4 (7) p'/ { (Y'o r’ ? y) 4" + (2"+ r L p"")9'”. 2

8. Soit s— MM’ un arc infiniment petit d’une courbe gauche. Démontrer que la distance à du point M’ au plan osculateur en M, la plus courte distance d’ des tangentes en M et en M’, la différence € entre l’arc 8 et sa corde, ont respectivement pour expressions, aux infiniment petits près du 4° ordre,