I . . TMT
R areMW
Décrivons, du centre M avec un rayon égal à l'unité, un are de cercle TT; (fig. 53) qui mesurera l'angle infiniment petit TMT, des deux tangentes. Soient q sa corde TT: ; À, p, » les cosinus directeurs de cette corde, prise de T vers T,; As l’arc infiniment petit MM’. Les cosinus directeurs de la tangente MT étant a, f, y, ceux de la tangente M'T’ ou de MT, seront « + Aa, B + AB, y+ A, et en projetant sur l’axe des x
le contour triangulaire MTT,M, on aura x qh—(ax—+Aa)=0o, d’où Aa= qi, et en divisent par As, faisant tendre At vers zéro et observant que
Te CNET aLN TTi À At=0 AS As ‘RS
on trouvera, à la limite,
dx À dB y dy Q ds ds À à les deux dernières équations s'obtenant, comme la première, par la projection du contour MTT,M sur les axes des y et des z. Il est clair que les valeurs de À, p, y se rapportent ici à la direction limite de TT1.
On tire d’abord, des équations (9), 1 d#+dB@+d} RARE à 2 PE Meter
R° ds?
Fig. 33.
d’où l'expression du rayon de courbure
ds (ro) =" —;
de + d8 + dÿ le signe du radical sera déterminé de manière à fournir pour R une valeur positive. L'expression p/da? d£? + d}?, qui représente, comme on le voit sans peine, l'angle TMT; lorsqu'on regarde dax, d£, dy comme les accroissements de «, GB, y et que l’on néglige des termes d’ordre supérieur, s'appelle l'angle de contingence.
232. Le direction (À, x, v) définie par les équations (9) est la limite de la direction TT,; celle-ci est dans le plan TMT, qui a pour limite le plan osculateur en M (229); de plus, les angles qu’elle fait avec MT et MT, étant égaux et l’angle TMT, étant infiniment petit, cette direction TT à la limite devient normale à la tangente MT.
La parallèle MZ à cette direction limite de TT;, menée par le point M, se nomme la normale principale au point M. Elle est, d’après ce qui précède, dirigée dans le plan osculateur, perpendiculairement à la tangente MT, et, d’après le sens dans lequel nous avons pris la direction TTi, du côté où la projection de la courbe sur son plan osculateur tourne sa concavité. Ses cosinus directeurs sont donnés, sans ambiguité de signe, par les formules (9),
(at) À—=R— BE de V—=R—:
283. Transformons l’expression du rayon de courbure, au moyen des expressions (4) de «, B, y. Nous aurons
(ds d?x— dx d?s ? + (ds d'y — dy d?s)? + (ds d?z-— dz d?s)
ds
de d6®+d)—
Mais on a ds? — dx? + dy? + dz?, et en différentiant cette équation, (12) dsd?s — dxdx + dyd?y + dzd?z, ce qui donne 2 (12 r2 212 2,9% 2122 __ »1le?nl2ct SORT A Enr Res (d?x? + dy RÉRUEEe 2ds*d°?s Pa? + dy? + d?r? — ds".
ds?
et par conséquent ds?
Remplaçant d?s par sa valeur tirée de l'équation (12) et éliminant ds? sous le radical, on a encore
dsÿ (dax? +-dy? +de?) (dx + dy + d'2?) —(dxd?x+-dyd y+ dzd? 2) ou, d’après une formule du N° #4, que (dx? + dy? + dz*)° V/dyd?z — dzd?y} + (dzd?x — dxd?z} + (dxd?y — dyd?x) Cette expression ne renferme plus que les différentielles premières et
secondes de x, y, z; on l’écrit plus simplement, en désignant par À, B, C les coefficients de l’équation (8) du plan osculateur,
(14) A = dyd?z — dzdy, B— dzd?x — dxd?z, C— dxd?y — dyd?x, sous la forme
dsÿ
234. Le cercle de courbure en un point donné M de la courbe, est le cercle de rayon R (ayant donc même courbure que la courbe), placé dans le plan osculateur en M, tangentiellement à la courbe, et tournant sa concavité du côté MZ. Son centre Z (x, y, 1) est donc sur la normale principale, à une distance R du point M (x, y, z); il est déterminé par les équations
Gi—L—RÀ, y—y—Ru, 2, — 7 —= Rr.
d’où
d fdx d {dy d /dz == 2 — =— 5] as. 2 a — , ur 2 —— — e.
dire ds (à) lignes ds à) RAP ds ()
On peut aussi donner du rayon R une expression géométrique semblable à celle du N° 206 pour les courbes planes, au moyen du théorème suivant : L'angle TMM’ que fait la corde d'un arc infiniment petit avec la tangente en M est la moitié de l'angle TMT; des tangentes aux extrémités de cet arc, abstraction faite de quantités d'un ordre supérieur à cet angle.
Projetons sur le plan osculateur en M l’are MM’, sa corde MM’, la
Fig. 34.
tangente M'T’ dont la projection nm’! (fig. 34) touchera en m’ la projection Mm’ de la courbe, comme on le sait. La courbe plane Mm’ jouit (2038) de la propriété
angle TMm’ — À Ta’,
car MT touche aussi cette courbe en M.
D'autre part le plan TMM’ mené par la tangente MT et la corde MM’ fait un angle infiniment petit avec le plan osculateur (228); donc d’après un principe établi au N° 60, l’angle TMM’ et sa projection TMm’ sur le plan osculateur sont égaux, en négligeant une quantité infiniment petite par rapport à eux-mêmes; il en est de même de l’angle des tangentes MT, M'T’ (l'angle TMT;) et de sa projection Tnt’, car l’angle TMT, fait un angle infiniment petit avec le plan osculateur (228). L'égalité ci-dessus subsistera donc aux quantités du même ordre près, lorsqu'on remplacera TMm’ par TMM’ et Tnt’ par TMT;, ce qui démontre la proposition.
Cela posé, abaissons M’P perpendiculaire sur MT, et nous démontrerons par le même raisonnement qu’au N° 206, que l’on a l'égalité
sn?
R— lim MP
Les considérations qui précèdent font voir aussi que le rayon et le centre de courbure en un point M de la courbe, coïncident respectivement avec le rayon et le centre de courbure de la courbe plane, projection de la courbe donnée sur son plan osculateur en M.
235. La courbure considérée jusqu'ici, dans une courbe gauche, est la seule que possède une courbe plane. Mais dans une courbe gauche il en existe une seconde, qui résulte du déplacement du plan osculateur quand on passe d’un point à un autre, et à laquelle on donne le nom de seconde courbure ou de torsion.
La torsion, en un point M d’une courbe gauche, est la limite du rapport de l'angle des plans osculateurs en deux points infini- Fig. 35. ment voisins M et M’, à l’arc de courbe MM’ entre ces deux points. Nous procéderons comme. pour la première courbure. Élevant au point M la normale MU (fig. 55) au plan osculateur en ce point, et une parallèle
MU: à la normale M'U’ au plan osculateur en M’, l'angle UMU,, compris entre ces normales et qui est égal à l’angle des plans osculateurs infiniment voisins, a pour mesure l'arc de cercle UU, décrit du point M comme centre avec le rayon 1. Projetant le contour triangulaire MUU,M sur les axes rectangulaires successivement, et désignant par 1 :T la torsion, par X, Y, Z les cosinus directeurs de la normale au plan osculateur, on aura comme au N° 234, 1 VE, TE ds Mais les équations (6), différentiées en tenant compte de la seconde donnent XdXÆEYdY+ZdZ = 0, dx dX + dy dY + dz dZ = 0, d?x dX + d'y dY + d?z dZ = — (X dix + Y dy + Z d5z), et si l’on résout ces équations par rapport à dX, dY, dZ par la méthode
ordinaire, on aura, en observant que le dénominateur commun X (dy d?z — dz d'y) + +. n’est autre chose que AX + BY — CZ, dx s dY ce dZ __. Xdix+Y dy+Zd5z Ydz—Zdy Zdx—Xdz Xdy—Ydx AX+BY—LCZ
Mais ces rapports égaux sont encore, comme on sait, égaux au rapport
y’ dX? + dY? + d2?
mm 9) V/(Y dz —2 dy} + (2 dx — X dz) + (X dy — Y dx)? et comme la quantité sous le radical au dénominateur se réduit à (X2 + Y? +2?) (da? + dy? + dre?) — (X dx + Y dy +-Z dz} = ds’, cette dernière fraction n’est autre chose que Æ 1 : T ; on a donc 1, X dix + Y dy +Z dix Te AXE BYE OZ ou, X, Y, Z étant respectivement proportionnels à A, B, C, À d5 3 3 (16) HE DE dix + Bd'y+Cdz 4h A? + B° + C?
Cette expression de la torsion, où l’on remplacera A, B, C par leurs valeurs (14), ne renfermera plus que les différentielles premières,
Fa we
seconde s et troisièmes des coordonnées x, y, z. On doit prendre le signe qui donne pour T une valeur positive. T s’appelle le rayon de torsion, et ds : T l’angle de torsion.
Remarque. Lorsqu'une courbe est plane, le plan osculateur en un point quelconque se confond avec le plan de la courbe, et la torsion est nulle en tous les points. On a donc, pour tout point de la courbe,
Ad5x + Bd5y + Cd5z = o.
On voit d’ailleurs que toute courbe plane doit vérifier cette équation,
car si ses coordonnées vérifient une équation de la forme
ax + by Lcz+d=o, a, b, c, d étant des constantes, et si l’on différentie trois fois cette équation, on entire
adx +-bdy + cdz —0, ad?x + bd?y + cd°z= 0, ad5x + bd5y + cd?z—0.
L’élimination des constantes a, b, c conduit à la condition unique (dyd?z — dzd°y) dix + (dzd?x — dxd?z) dy + (dx d?y — dyd?x)d5z — 0, qui n’est autre que l’équation ci-dessus.
236. Le plan UMU,;. mené par les perpendiculaires MU, MU, aux deux plans osculateurs infiniment voisins, est normal à l’intersection de ces deux plans, qui a pour limite la tangente en M. Le plan UMU,, à la limite, se confond done avec le plan normal, La droite UU;, située dans ce plan et faisant avec MU un angle qui tend vers 90°, est parallèle, à la limite, à la normale principale MZ. Elle est de même sens ou de sens contraire selon que l’on a élevé la normale MU d’un côté ou de l’autre du plan osculateur, et nous verrons plus loin comment on choisit la direction MU de manière que UU, et MZ soient de sens contraires. Ses cosinus directeurs seront donc — À, — pu, — v.
D’après cela, si l’on projette le contour MUU,M sur les axes comme on
Va dit plus haut et si l’on raisonne comme au N° 284, on trouvera facilement les équations
a dx À dY me PACE 7 PRUTU EE ls, CD TOUR De Exercices.
4. Hélice. — Cette courbe est tracée sur un cylindre circulaire droit par un point M dont la distance z au plan d’une section droite du cylindre varie proportionnellement à
l'angle t, que fait le plan passant par l’axe et par la génératrice au point M avec sa position initiale. |
D’après cela, prenant l’axe du cylindre pour axe des z et menant l'axe des y par un point de la courbe, on a pour les équations de l’hélice
rm —\asint; 07000 2e DL)
a étant le rayon du cylindre, b constant.
Équations de la tangente :
Ë—x NES VS ae JL œ LIT NE
ds = dtY/ a? + b?; l’are est proportionnel à l’ordonnée z. Cosinus directeurs de la
tangente :
y æ b De 1) Tu Re SE RAA sr LE 2 À Va? +0 V/ a? + 0? Vu? + b2
y est constant. La courbe coupe les génératrices du cylindre sous un angle cunstant. Si l’on désigne par à l’angle d’intersection,
: b | a a COSO—— 7 sin — : RTE V/a? + b? a? + pb?
Coefficients de l’équation du plan osculateur : A—bydi, B——bœdi5, C—— a*dt;; d’où, pour l’équation du plan oseulateur, $ a?
LES chbntre tent EUX Cosinus directeurs de la normale à ce plan :
b ba Xe ne VE RE PR a Va? +- b? aV’a? -b? Va? + 6° inclinaison constante du plan osculateur sur le plan XY. Rayon de courbure constant :
RE preal a Cosinus directeurs de la normale principale : T .
1— — —-; LE 0 a «
Elle est normale à l’axe du cylindre et va rencontrer cet axe, — Coordonnées du centre de courbure :
b? DA b° b?
Li———%———-sInmÉé a ——— — ac z 1 24/S mŸ = COS F0, 0 Le lieu du centre de courbure est une hélice. Rayon de torsion constant :
