TE ——————————— — — PR

R' IR 3 RES 2 2\2 Gp + gr SARA ER

La première est celle de la courbure moyenne de la surface au point M. La seconde montre que le produit R’R’’ est de même signe que le binôme rt — s?. Done, les surfaces concavo-concaves sont caractérisées par rl—s? © o, les surfaces concavo-convexes par rt — st o. Si ri— s— 0, l’un des rayons principaux est infini. Cette condition étant vérifiée en chaque point d’une surface développable, comme il est facile de s’en assurer, il s'ensuit que, dans une telle surface, les tangentcs aux sections principales se confondent avec la génératrice rectiligne et sa perpendiculaire dans le plan tangent.

260. En exprimant que l'équation (10) a ses racines égales, on obtient une équation qui se décompose en deux autres, pour déterminer les points de la surface où R’ — R/’, c'est-à-dire les ombilics. Mais on arrive plus vite à ces relations en observant que, toutes les sections normales ayant même courbure, la valeur (6) de 1:R doit être indépendante de cos à. Posant

on à donc (r + 28u — tu*) cos?a — const. — h.

[( tnt 2pqu (1 + q?) u?] costa — 1, et en éliminant cos?x, exprimant que l'égalité a lieu indépendamment de toute valeur de p, on trouve les conditions

(11) Re

PUS HUMEUR pour caractériser un ombilic. Si l’on remplace p, q, r, .… par leurs valeurs tirées de l'équation de la surface, on a, avec celle-ci, trois équations en Z,Y,Z, Ce qui montre que, en général, une surface n’admet qu'un nombre limité d’ombilies. Toutefois, il existe des surfaces sur lesquelles tous les points d’une certaine ligne sont des ombilies, et même, les équations (11) étant vérifiées identiquement en tout point d’une surface sphérique, la sphère jouit de cette propriété, que tous ses points sont des ombilics.

261. Application des résullats précédents à l’ellipsoide. — Soit

(a) EEE:

l'équation de cette surface ; elle donne par différentiation (466)

a? b2 9 dr dy dr z a eines qi:

d?z == rdx? + 2sdxdy + 1dy? — — — Ce: se Die =);

z d’où

2% 2 52 r cos?a + 28 cos x cos B + 1 cos?f5 — (Te LE Ê = 2}.

à cause des relations dx : ds — cos a, ete... On a donc, par la formule (6), si z est positif,

GE EE ar