RON OR" RON OUR

RO : I I RUROOR UM La somme des courbures de deux sections normales rectangulaires, en un point d’une surface, est constante et égale à la somme des courbures des sections principales.

II. Si, en un point d’une surface, on a R’’ — KR’, l’équation (7) donne pour une section normale quelconque

cos?a — sin?a T

RTE RURALE

c'est-à-dire que st les rayons de courbure principaux sont égaux en un

point d'une surfuce, toutes les sections normales ont la même courbure.

Un tel poiut s’appelle un ombilic de la surface.

IT. On doit remarquer que R, R’, R’” peuvent étre positifs ou négatifs, suivant que les sections correspondantes tournent leur concavité vers la portion positive de l'axe des z ou de la normale, ou en sens contraire. On peut toujours supposer R’ positif, il suffit de choisir l’axe des z positifs dans le sens de ce rayon. L’équation (7) fournit alors le moyen le plus simple d'étudier le sens de la courbure autour d'un point M et conduit aux conséquences remarquables que voici :

1° Si R’, R’’ sont de même signe, c’est-à-dire si les sections principales tournent leur concavité dans le même sens, on a

RU 0, Ro:

et par suite R est positif quelque soit «. Toutes les sections normales ont

donc leurs rayons de courbure dirigés dans le même sens (fig. 42), la surface est dite concavo-concave (Gauss) autour du point M. Dans le voisinage de ce point, elle est partout du même côté du plan tangent en M, comme cela a lieu en tout point de l’ellipsoïde.

2 SiR’ > o,R/’ < 0, en faisant croître x à partir de zéro, dans l’équation (7), R sera d’abord positif, jusqu’à ce que l’on ait

a cos*a + sine —©O ou tgfa — — L ,

valeur de « qui donne une courbure nulle. Au delà de cette valeur de «, R devient négatif, le sens de la courbure change donc, jusqu’à ce que «

continuant à croître, dépasse 90° et atteigne la valeur donnée par l’équation

qui donne de nouveau une courbure nulle,

Au delà, la courbure redevient positive jusqu’à « — 180°. Les valeurs entre 180° et 360° ramènent évidemment les mêmes valeurs de R. Dans ce cas, les plans des sections à courbure nulle partagent donc la surface autour du point M en quatre régions, deux comprenant les sections normales qui tournent leur concavité dans un sens, deux autres où elles tournent leur concavité en sens inverse (fig. 43). La surface est concavo-convexe en M, comme l’hyperboloïde à une nappe. Il n’y a plus, en valeur absolue, de rayon de courbure maximum ; R’ est un minimum parmi les rayons positifs ; > R’’, étant un minimum parmi les rayons Fig. 43,

négatifs, est algébriquement un maximum.

3° Enfin, il peut se faire que R’’ — 0. Dans ce cas, l’équation (7) devenant

I cos? «x

montre que tous les rayons de courbure sont encore positifs ; toutes les sections normales ont leur concavité du même côté. Le rayon de courbure

minimum correspond à «— 0, le maximum à «= 90°, d’où R— .L’une des sections principales a donc ici une courbure nulle.

IV. On peut représenter géométriquement les résultats précédents. Construisons une section conique ayant son centre au point M; ses demi-axes, dirigés suivant MX, MY, égaux respectivement à VF, Re

Elle aura pour équation

x? y* RON RS

Il suit évidemment de l’équation (7) que le rayon vecteur de cette courbe, suivant la tangente à une section normale quelconque, sera égal à ’R, et pourra ainsi figurer géométriquement la variation du rayon de courbure. Cette courbe se nomme l’indicatrice de la surface ; c’est une ellipse quand la surface est concavo-concave, une hyperbole quand elle est concave-convexe, un système de deux droites parallèles quand l’une des sections principales a une courbure nulle.

259. L'existence des sections principales étant établie, revenons à leur détermination pour un système d’axes rectangulaires quelconque. En égalant à zéro la différentielle de l’expression (6) de 1 :R, considérée comme fonction de «, (>, et ayant égard à l’équation (4), on a les deux équations

(r cos à + s cos É) sin «da + (s cos « +- t cos 3) sin BdB — 0, [(x Hp?) cos à pq cos 5] sin «da + [pq cos «(1 + q?) cos ] sin BdB = o.

L’élimination de dx, df entre ces égalités conduit à celle-ci :

{ reosa—+-scosf seosa—+tcosf CFP me E prose FU et | = eee + 2 0 as Penn TUE (1 + p?) costa H 2pq cos «a cosBL(1+g)co® 6 R

Elles déterminent à la fois les valeurs de «, 6 qui répondent aux sections principales et les valeurs correspondantes de R, savoir, R’ et R”. Pour obtenir d'abord l’équation qui a pour racines ces rayons de courbure principaux, nous tirons des relations (8) celles-ci :

[Rr — k (1 + p*)] cos « — (kpq — Rs) cos b, (kpq — Rs) cos à — [Rt — k (1 + g*)] cos GB,

qui, divisées membre à membre, donnent (Oo) [Rr—Æk(r+pt)}IRt — k (1 + 9°) — (Rs — kpq} = 0, ou, en développant et observant que

RG Hp) (+) — pq = +p += (+p +), (ro) (rt—S)R— pr pt qù [(1 H Q) r — 2pgs + (1 + p°) ÜR

+ +p+ go.

Cette équation du second degré en R a deux racines réelles, R’ et R”,

comme nous le savons déjà. Il est facile de s’en assurer en observant que les substitutions

OUR k(1 + p°)

dans le premier membre de l’équation (9), donnent des résultats de signes contraires.

On tire de l’équation (ro) les valeurs

I 1 (1+q*)r — 2pqs +(1 + p°hi I rt — 5°