PE (B) R
c’est-à-dire que Le rayon de courbure d’une section normale en un point M de l’ellipsoide, est une troisième proportionnelle à la distance du centre au plan tangent en M et au demi diamètre parallèle à la tangente à cette section. On en conclut sans calculs ultérieurs 4° que pour les différentes sections autour d’un même point, P étant constant, R varie comme le carré de p; 2° que, par suite, le maximum et le minimum de R répondent au maximum et au minimum de p, en sorte que, si l’on mène une section diamétrale de l’ellipsoïde parallèle au plan tangent en M, les axes 2a’ et 20” de celte section seront respectivement parallèles aux tangentes aux sections principales en M, ce qui détermine simplement ces dernières;
3° On aura donc a’? 12 12/2
l'A b 4 FER, R HD: RER p?
et comme on a, par une propriété connue de l’ellipsoïde,
il viendra 2h22 P‘
4° Enfin, l’équation (B) montre encore que le point M ne peut étre un ombilic de l’éllipsoïde, à moins que l’on n’ait p? — const. pour la section diamétrale indiquée ei-dessus; celle-ci sera done une section circulaire. Done l’ellipsoide (A) n’admet que quatre ombilics réels ; ce sont les points où la surface est coupée par les diamètres conjugués des plans des sections circulaires. Leurs coordonnées sont donc
= EG ——, y=O0, 2 Ec———.
V/a RTE | V/a? — ç!
262. Revenons au problème général de la détermination des tangentes aux sections principales en un point M d’une surface donnée. La première équation (8) nous donne, entre « et f5, la relation
E(r + q*)s — pqt] cos?B + [(1 + q?)r — (1 Æ p?) f] cos « cos 6 + Lpgr — (x ++ p°) s] cos*4 — 0, à laquelle il faut toujours joindre la relation (4). On peut, en observant
que dx, dy sont respectivement proportionnels à cos «, cos 5, lui donner la forme
(22) [G +9?) s — pat] 2 IG) (TEE) 1% + Lpgr — (Gi +p)sl—0,
sur laquelle nous reviendrons. On peut encore écrire les équations (8) sous d’autres formes, telles que
rdx + sdy far sdx +- tdy te k (c + p°)dx + pqdy padz ++) dy R ou, eu égard aux équations dz = pdx + qdy, dp—rdx + sdy, dq — sdx + idy, dp (CRAN dx Epdz dy+gdz R les différentielles étant toujours prises suivant une des sections principales. Désignons par la caractéristique 9 une différentielle prise suivant l’autre section. Nous aurons, d’après (13),
dp dq dpdx + dqdy dx + pdz dy + qdz — dxûx — dydy + dz (pdx + qÜy) etcomme px +qy—0dz, que dxdx + dydy + dzdz est nul par
la condition de perpendicularité des tangentes aux sections principales, on doit avoir la relation
(14) dpdx + dqdy = 0.
On tire aussi, des équations ), EP Z I
les suivantes :
kdp — pdk I ?) dp — pqdq kdk = pdp + qdq, ax — PP (EAN PI.
Siles différentielles se rapportent aux directions dessections principales, les équations (13) auront lieu, d’où l’on déduira
GE er EU en) k2R 2 RL mt ar ND mL) TS k2R R On aura évidemment de même, par raison de symétrie, L dæ dy dz R'
relations qui caractérisent les sections principales en un point d’une surface.
263. Tangentes conjuguées. — Supposons que l’on mène deux plans tangents à la surface, en deux points infiniment voisins M et M’: l'intersection de ces deux plans, considérée à la limite, se nomme la fangente conjuguée de MT. Le plan tangent en M ayant pour équation
pÉ—x)+q(in—y) —(6—z:)=0, et les coordonnées de M’ étant x + Ax, y + Ay, z + Az, la droite d’intersection est représentée par l'équation précédente et par celle-ci : Ap (Ë—x) + Aq(n—y) — pAx — qAy + Az: — 0,
ou, puisqu'on néglige les termes du second ordre, ce qui donne Az — pAx + qAy,
(Ë — x) Ap + (n — y) Ag — 0.
La tangente conjuguée a done pour équations
0 —dpË—x)+dq(n— y).
C’est une droite passant par le point M, et située dans le plan tangent en M.
Remplaçons dans la seconde dp et dq par leurs valeurs (5), et revenons au système de coordonnées du N° 258 ; nous devons poser
I I X—=Y—2r—0, S—0, ni = 55
l'équation (16) deviendra ainsi
= me, Se
Si «, «’ désignent les angles respectifs des droites MT, MT’ avec la
section principale de rayon R’, cette dernière équation peut s’écrire
(17) gage = relation qui, rapprochée de l'équation de l’indicatrice, établit cette propriété : En un point M d’une surface, les directions MT, MT’ de deux langentes conjuquées sont celles de deux diamètres conjugués de l’indicatrice en ce point.
I en résulte, vu la loi de réciprocité des diamètres conjugués d’une conique, que si le point de contact du plan tangent se déplace suivant la direction de MT’, la direction de la droite d’intersection limite sera suivant MT.
On sait qu’une conique à centre n’admet qu’un seul système de diamètres conjugués rectangulaires, celui des deux axes; donc, en un point d’une surface, il existe un seul système de tangentes conjuguées se coupant à angle droit, c’est celui des tangentes aux sections principales.
Si l’on trace sur la surface donnée une courbe arbitraire (C), et si l’on veut déterminer la surface développable, circonscrite à la surface et admettant (C) pour courbe de contact, la génératrice de cette développable passant par le point M de la courbe (C) sera la tangente conjuguée de la tangente à (C) au point M, car cette développable n’est autre chose que l'enveloppe du plan tangent à la surface le long de la courbe (C).
264. Par le point M’ (fig. 44) infiniment voisin du point M sur la courbe (C) dont MT est la tangente, menons la normale M'N’ à la surface.
Soient MN: parallèle à M’N’, MP la projection de MN: sur le plan de la section normale TMM ; MT’ perpendiculaire au plan NMN:. MT’ est, à la
limite, la tangente conjuguée de MT, car MT’ est perpendiculaire aux normales MN, M'N’. L’angle NMN: est l'angle des normales infiniment voisines ; l’angle PMN: mesure l’inclinaison de la normale en M’ sur le plan de la section normale TMN.
Enfin, MP est parallèle à la normale à la courbe (C) en M’, dans le plan de la section normale, donc l’angle NMP est l’angle de contingence de cette section normale. Nous poserons donc
d NN MDN END {x 7 R
Fig. 44.
ds étant l’élément MM’, R le rayon de courbure de la section normale, 1 : f ce qu’on appellera la flexion de la surface suivant MT, 1 : y la forsion géodésique de la courbe MM’. Décrivant les arcs NN2, PN2, PN d’un rayon
égal à l’unité, le triangle infinitésimal NPN: rectangle en P donnera les relations
NP — NN: cos PNNe, N2P — NN: sin PNN;,
et comme PNN: est le complément de l’angle o des tangentes conjuguées MT, MT’, on a à la limite
1 sino I COS a mi —— — 3 Ra ANT Fu dati d’où 1 I I y (18) F Rte ALU
Mais, d’après la remarque du N° 263, l’angle © des tangentes conjuguées est l'angle que fait le rayon vecteur p de l'indicatrice suivant MT avec la tangente à celle-ci à l'extrémité de ce rayon p; il est donné (885) la formule de re L2
dp
ou coto RS A EN Eu ne fe A ae
B?—Pp
La scconde équation (18) donne
DE cot pin, TN CREME AT RUN O2RAI da ME sale
done, d’après l'équation (7) d’Euler,
I T TN (19) + pp )snacos à, ce qui donne l’expression de la torsion géodésique en fonction de «. On a ensuite
2 in? 2 2 BR de CEE —- (rx) sin?æ COs?@, d’où TEMICOS AE SIN (20) PRE A ce qui fait connaître la flexion suivant MT.
Il importe, pour la généralité de la formule (19), d'observer que o est l’angle formé avec MT par la tangente conjuguée MT’ menée du côté où la rotation de MN vers MN: parait se faire de gauche à droite, et que la torsion géodésique 1 : y est positive quand du point T on voit la rotation de MP vers MN: se faire de gauche à droite, négative dans le cas contraire. L'équation (19) est vraie alors dans tous les cas.
265. Conséquences : 1° D’après l’équation (19), la torsion géodésique ne peut s’'annuler que si l'ona æ—o ou &æ—90°; donc, en un point d'une surface, il n’y a que deux directions suivant lesquelles la torsion géodésique soit nulle, ce sont les tangentes aux sections principales.
2° Si l’on remplace, dans l'équation (19), « par & + 90°, ; ne fait que changer de signe : Quand deux lignes se coupent à angle droit sur la surface, leurs torsions géodésiques sont égales et de signes contraires.
3° Suit æ’ l’angle de MT’ avec la section principale NMX ; 1: f” la flexion suivant MT’. La formule (20) donne
I cos®a’ , sin’o’ Æ CU REMEMQUS |
Mais, de l'équation (17) mise sous la forme sin?æ sin?æ" R772
cos?a cos®æ R'*
on tire cos?’ sin?c.’ I Rsinx R?cosx R'?sin’a + R''? cos’a
d’où, substituant,
TU | I VOIR COS xt sin FAURE Sinta + R' cos'x CRERSMVURE pre /?
et au moyen de l'équation (20), I I ff? RER On a donc ce théorème remarquable : Le produit des flexions de la
surface suivant deux directions conjuguées, en un même point, est constant et égal au produit des courbures principales.
Exercices.
2. L’équation de la surface étant mise sous la forme F(x,y,z)—0,
trouver l'expression du rayon de courbure d’une section normale dont la tangente a pour angles directeurs «, 8, y.
R. On trouve, soit par le calcul des dérivées p, q, r, .., soit directement, et en
posant OF 02F O?F Rss PA ÉrEr AE EE ES VF ESF
7 Fu costa Æ Fag cost8 + Fss cosy + 2Fas cos 8 cos y + 2F3, cos « cos y —+- 2Fi2 COS x cos 8 ;
2. Soient, autour d’un point, n sections normales équidistantes, dont les extrêmes sont également inclinées en sens contraire sur les plans des sections principales; la moyenne des courbures de ces n sections aura pour valeur
Yo I 2 (z LE 772 æ. Dans une surface développable, l’une des sections principales en un point M est
tangente à la génératrice rectiligne, l’autre lui est normale. Le rayon de courbure de
celle-ci a pour expression Ré L Ù £ PetT étant les rayons de courbure et de torsion de l’arète de rebroussement au point x où la génératrice touche l’arète, # la distance uM.
4. Soient X, Y, Z les cosinus directeurs de la normale à une surface, Exprimer en fonction de X, Y, Z et de leurs dérivées partielles 4° la somme et le produit des courbures principales ; 2° l’équation qui détermine les sections principales ; 3° les conditions qui caractérisent un ombilic.
R. Exprimant p, g en fonction de X, Y, Z et ayant égard à la relation X? + Y? + Z* = 1, on en déduira les valeurs de r; s, !, et de simples substitutions donneront
A has OX 0Y 1 ÔXOY ÔXÔY Lo a NS | ne PUY En re nr nee R R 0x dy, R'R x dy y dx ; ox Ph OX =) OY :
ENT E de dy ET à OX OY oy ox 99 "PE pr
Dao ye FR Fe
5. Démontrer que la somme des rayons de courbure suivant deux directions conjuguées est constante autour d’un même point, et égale à la somme des rayons de courbure principaux.
