LIGNES DE COURBURE; SURFACE DES CENTRES; THÉORÈME DE CH. DUPIN

266. Si l’on trace sur une surface une courbe quelconque (C) et que par les points de cette courbe on élève des normales à la surface, le lieu de ces normales sera une surface réglée, une normalie, qui, généralement, sera une surface gauche comme le calcul va le prouver. Mais si l'on se propose de déterminer la courbe (C) de manière que la normalie soit une surface développable, on obtient un double système de lignes remarquables qu’on appelle les lignes de courbure de la surface proposée.

Soient M (x, y, z), M’ (x + Ax,y + Ay, z+ Az) deux points infiniment voisins sur la courbe (C); les équations des normales correspondantes

seront (1) En pie) nt) Roc) (2) E— x — Ax — —(p + Ap)(6 — z — Az),

9 — y — Ay = —(g+ Ag) (6 — z — A).

La plus courte distance de ces deux droites sera, en général, un infiniment petit de même ordre que Ax, .….; pour qu'elle soit d’un ordre supérieur, il faut et il suffit qu'en ne conservant que les termes du premier ordre, les quatre équations soient vérifiées par un même système

de valeurs de &, n, 6, comme si les droites se rencontraient rigoureusement. Or, les équations (2) se réduisent, par les équations (1), à

Ax + pAz— Ap(t— 2), Ay+gqAz—Aq(& — 2), et en égalant les valeurs de € — z fournies par ces deux équations, on trouve la condition | T1 79 OPA RSR 01 G— z Ax+pAz AyLqAz qui devient, à la limite,

d d I (3) PA Re à