UE ———————————————— + ES
(a®—Db?)(a+-bz) 2(a+b)(1—2:) 2(a—b)(1+2) par la décomposition en fractions simples.
Intégrant et remplaçant z par cos x, on trouve
dx b l.(1—cosx) 1.(1 Hcosx) pile (atbcosx) + 2 @-Lb) me sprl
sinx(a—bcosx) u?
Les différentielles de la forme / (sin x, cos x) dx, dans la même hypothèse, sont aussi rendues rationnelles par la transformation
I Or 27 1 — 7° 247 . Zz—=tg-x, d'où sNt———;, COS x = ———»
dx = ———.
Ainsi l’on a
dx Fr 247 en ce nes
On peut toujours faire que a + b soit positif; a — b sera positif ou négatif, donc a+b=a, a—b— + f;, et d’après les formules connues Rasa — ge arc tg cs , LUS ve a Pz Pz.
fr af œ a? — (527? a" a — fr"
il viendra, pour a — b > o,
2 a — is ee (V/ Este) te:
pour a —b < 0, dx I LB + a 6os # æ + /b— a sin £ x Énere Vrai BE as! x — pb — asin x
QUE, 1 Lo a cos x + pb? — 0? sin x € Tr a + b cos x Te |
3056. L'intégration par partie s’emploie utilement pour l'évaluation ou la réduction des intégreles des fonctions transcendantes. En général, soient w, v deux fonctions de x, #7 un nombre entier positif, et posons
V1 — fvdx.
De la formule (1) fur vdx = wo, —n fu" tu, du on déduira, si # et v vérifient la condition | vdu = gvdx, où g désigne une constante, la formule de réduction (2) furv dx = uv — ng [uv dx, qui donnera immédiatement pour la valeur de l'intégrale proposée Jurv dx vu —ngu"t Æn(n—7r)qu"?—... +En(n—1)...1g"]+4-C.
Si l’on prend u = x, v = e**, on aura
Vin ee — —\9 Ge NI
ns — N(Nn— 1)" I fred" le ne 1) PA LU NTE (n ) l+c a
Reprenons l’équation (1), et supposons que l’on ait foidu—v, v:du = gudx; en intégrant une seconde fois par partie, on trouvera (3) fuv da — uv, — nu vs: +n(n — 1)g [u"-?vdx, formule de réduction qui abaissera de deux unités à la fois l’exposant de w. Soit, comme exemple, u—X, V — COS X; On aura Vi siNnX, Ve——Ccosx, vidu— — vdx,
done, g étant ici égal à — 7,
fa" cos x dx = x" sin x + næ"-! cos & — n (n — 1) [x"-? cos x dx.
On sera ramené, suivant que » est pair ou impair, à
fcosx dx =sinx, [x cos x dx — x sin x + cos x.
La même formule (3) s'applique à fx" sin x dx.
806. Si l’exposant n était négatif, il faudrait diriger autrement l’intégration par partie, sans quoi l’on augmenterait sa valeur absolue au lieu de la diminuer, Ainsi l’on a |
es dx etr a etc dx pe
x" (nr ALU NORN TI] ANSE
et si n est entier, l’application répétée de cette formule-conduira à
(= dx
qui n’est pas susceptible d’une réduction ultérieure et constitue une nouvelle fonction transcendante.
L'intégration par partie peut, dans certains cas, ramener à l'intégrale même que l’on cherche, et qui se trouve alors déterminée avec d’autres par un système d'équations du premier degré. Ainsi, en intégrant par partie, on trouve
ex b 1 fe cos bx dx — — cos bx + - [e sin bx dx, a a
et en opérant de même
ax
: eux b (e sin bx dx — — sin bx — = (er cos bx dx.
Résolvons ces deux équations par rapport aux intégrales qu’elles renferment; il viendra e%® (a cos bx + b sin bx) e2® (a sin bx — b cos bx
( W) LG
On peut remarquer que ces équations se déduisent immédiatement de la règle (275) pour différentier e*, z étant imaginaire. En effet, soit z — (a +- bi) x ; cette règle donne
(e cos bx dx — + C,
(4) | (e sin bx dx —
d’où CHEN 0 eta+bi x (a — bi) ee ; abi a +b l Remplaçant e(@+#?+ par sa valeur e1* (cos bx à sin bx) et séparant le réel de l’imaginaire, on trouve les équations (4). 307. On rencontre souvent des différentielles de la forme sin” x
eta+bi)x dx Per
cos" «dx, m, n étant entiers, mais positifs ou négatifs. Il est facile de les ramener à des différentielles algébriques par substitution; on peut aussi exprimer sin” x cos" x par une somme de sinus ou de cosinus des multiples de x, mais le moyen le plus simple est de réduire les exposants met n par des formules semblables à celles que nous avons données pour les différentielles binômes. Posons
Pyn —= | sin" x cos" xdx; nous aurons f sin” x cos" xdx — [ sin” x cos"? x (1 — sin? x) dx, d’ou (5) Pur = Pmn-2 — Pmy2n-2.
D'autre part, l'intégration par partie donne
sin”+! % cos"! x
sin”+? x cos"? xdx,
Prin —= sin” X cos”! X d. sin TXT —
AN à
ou bien (6) (m + 1) Pn,n = sin"+t x cos"! x + (n — 1) Puyo,ne.
Entre les équations (5) et (6), on peut éliminer Pyys,n e Où P, », et l’on a (7) (mn) Pr = sin"+tt x cost x LL (n — 1) Pur,
(m + n) Puiano = — sin"+tt x cos"! & EE (m + 1) Prune, dont la seconde devient, par le changement de m en m—2 et de nen n +2, (8) (mn) Pur = — sin" x cos"tt @ (m — 1) Po.
Les formules (7) et (8) établissent des relations entre deux fonctions P,,n dans lesquelles les indices m ou les indices n diffèrent de deux unités. Elles serviront donc à ramener la fonction P,, , à une autre dans laquelle l'indice m et l’indice n seront diminués, ou augmentés s'ils sont
négatifs, d'autant de fois deux unités que l’on voudra. On pourra donc toujours ramener ces deux indices à l’une des valeurs 0, 1, —1.0r,ona
Poo—= fd x +0, Pio = fsin xdx = — cos x + C,
sin? x
Po = [cos xdx =sinx+C Pis — sin x cos x dx — + C,
sin xdx
fes RE — — |, cos x + C, Ps —|
d Un pe
sin x
lg T-) 0, pu (ue —| EE
SE Ep TUE TONNE 2 Sin 5 & COS 4 æ
sin X COS æ
OR
EE Pr ere ——1(T+5)#c in)
Remarquons encore 1° que l’on a
» sin”+! x ET |sin” X COS X dx = —— m È cos"! % Pin = | sin x cos” x dx = ———— + cC:
nr
2° que la formule (6) donne pour n = — m, Gn + 1) ty" œde = (gt à — (im + x) [tg"+? xd, d'où, changeant m en m — 2, on tire
(m — 1) ftg" xdx = 181 2 —— (im — 1) [tg”-? «dx.
Exercices.
Vite 1, V1 He Li
daV/1-+ear — É OWrter—1r
Hu
ab — «? eos x == sare sin ae een En ie à GE —0
sin xdæ
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4, nl —— arctg| —t C.
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I—#r cos æ fi = - C.
ee ER dos à rs 2 rarcts eur) se 304), D s r sin —— ,b—rcosx, c—=rsin«.
en mo ar cds (220) (a — b cos x) dx b— a cos x
Ne 0 AIN À C.
sin æ ÿ/— (a? +- 6?) + zab cos x +- ce? sin? x Ve? — a? sin x
e?— a > 0. On. mettra la quantité sous le radical sous la forme (ec? — a?) sin? æ — (b — a cos æx)?.
s. [[L (@+V/1+a)f" de =[L (V1 Ha) [el (+1 Hat) —nV/1 +x?] + n ( (n— 1) [[I. ( (œ+ Vi + a?)]"2 da.
