CHAPITRE XXXI

INTÉGRATION DES EXPRESSIONS RENFERMANT DES FONCTIONS EXPONENTIELLES OÙ CIRCULAIRES.

304. Dans un grand nombre de cas, le changement de variable ramène à une expression algébrique. Si f(z) est une fonction algébrique de z, les différentielles de la forme

f{e')e'dx, ft 5) <

» f(arcsin x) ABUTE

2 % a ———— —— cos V4 TU RTE prendront la forme f(x) dz par les substitutions respectives

eZ, (gx —72z, arcsinx —Z7, ..…,

et l’intégration se fera sans peine si f (z) est rationnel en z. Ainsi, en posant 6% — z, on trouve |

SC É SCT RS te EC eur L gaz 1e a)ji1+z a

Les fonctions 1. x, are sin x, arctgx, ..… ont des différentielles algébriques. Cette remarque permet de rendre algébriques les différentielles de la forme

f(e*)dx, f(sinx)dx, f(sinx,cosx) dx, f(tg x) dx, f désignant d’ailleurs une fonction algébrique. En effet, posant e° — z, on a x — 1], z, dx — dz : z, donc

dz MOT ETICES et de même pour les suivantes.

Les expressions de la forme f (sin x, cos? x) cosxdx, f (sin? x, cos x) sin xdx,

où f désigne une fonction rationnelle, sont immédiatement réductibles à des différentielles rationnelles en z. Posant en effet, dans la première, SIN Z — Z, on à f(sin x, cos? x) cos «dx = f(z, 1 — z?) dz; de même, on fera cos x — z dans la seconde.

Ainsi l’on aura (cos x — 2)

dx tn sin «dx "+ dz sinæ(a + bcosx) sin? x (a + à cos x) st (1 — 2?)(a + *) (a + bz) b?dz dz dz