PRINCIPES GÉNÉRAUX

308. Soit f (x) une fonction de x, continue dans l'intervalle fini (a, b),

> a. Partageons cet intervalle en un nombre quelconque n de parties par des valeurs de x interposées &1 — @, 2, L3s .., Xn, nya —= 0, et soient di = %iy1 — x l'un quelconque de ces intervalles partiels qui sont tous positifs, &; une valeur arbitraire de x prise dans l'intervalle d; ; concevons que l’on fasse la somme

(a) > Edit EN oufle) d Me F(E) Os

et désignons par A l'oscillation de la fonction f(x) dans l'intervalle (a, b), par X une valeur arbitraire de x dans cet intervalle, en sorte que les

différences f(£1) — f(X), f (E2) — F(X), +, f(x) — f(X) seront toutes,

en valeur absolue, égales au ar à À; on aura donc VA [f(E) — FX EE AZ, 20; = bd — a,

d’où (Ë) MAD ()%—(b—a)f(RI<(b— a) A

Cela posé, admettons que les intervalles d; soient pris assez petits pour que, dans chacun d’eux, l’oscillation de la fonction soit moindre qu’une quantité arbitrairement petite donnée o, ce qui est possible (70) vu la continuité de f(x). Subdivisons chacun des intervalles d; en un nombre quelconque d’autres plus petits 07 par l’intercalation de nouvelles valeurs de x, et désignons par Zf(Ëx) dx la somme, analogue à (x), étendue à tous ces nouveaux intervalles dans lesquels on a divisé l’intervalle (a, b). Chaeun des termes f(£:) d; de la somme primitive (x) se trouvera donc remplacé par une somme };f(E;) dx de termes correspondant aux intervalles dj compris dans l'intervalle d;, et cette somme, en vertu de l’équation (6), différera de f(£:)d:, en valeur absolue, d’une quantité moindre que dis, en sorte qu’on aura

VA Zi f (Er) di — FE) 0] <di6, VA LZ2f (Er) O1 — f (Es) di] << d25, … et par conséquent, en ajoutant membre à membre et observant que la

valeur absolue d’une somme de quantités est au plus égale à la somme des valeurs absolues de ces quantités,

(7) VA L2f (Er) dr — Ef(E:) 21 € (b — a) c.

Donc, si l’on compare les sommes Z2f(£;) d;, Zf(E;) dx qui se rapportent à deux modes de division de l'intervalle (a, b), tels que le second résulte de la subdivision des parties d; du premier mode en parties plus petites dy, leur différence absolue sera moindre que le produit de l’intervalle d — « par o. Et puisque c« peut être pris moindre que toute grandeur donnée, la différence absolue Zf (Ex) dr — ZfIEs) d:

finira par rester toujours moindre que toute grandeur donnée quand les divisions 9; décroîtront indéfiniment, donc (48) la somme Z/(£;)d, tendra vers une limite finie et déterminée, indépendante de la manière dont on choisit les valeurs Ë;, lorsque les intervalles d; tendront vers zéro par des subdivisions successives. Appelons S cette limite.

Il reste à prouver que cette limite S est la même, quel que soit le mode de division de l'intervalle b — a en intervalles indéfiniment décroissants. Soit 2/f(£}) 9; la somme qui se rapporte à un autre mode quelconque de division de l'intervalle, et S’ sa limite quand les 0} tendent vers zéro. Admettons d’ailleurs que les intervalles d; et df soient déjà assez petits pour que l’oscillation de f(x) y soit moindre qu’une fraction o. Considérons un troisième mode de division de l'intervalle (a, b) formé par la superposition des deux premiers, c’est-à-dire par l’intercalation de toutes les valeurs 21, æe, .…., @, et, x2, …, %n de la variable x qui appartiennent aux deux groupes. Soit Zf(£}) 9; la somme correspondant à ce troisième mode de division. Comme il peut être regardé, relativement au premier mode, comme résultant de la subdivision des d; en intervalles plus petits, on aura par l'équation (:)

VA [3/(87) — 2f(6) 91 € (b — a)o et pour la même raison,

VA [2/(87) 97 — 2f(E5) 97 < (b — a) c, d’où il suit évidemment que l’on a

VA [SD 9 3) À] € 2 (b— a)e.

Ainsi la différence des sommes Zf(E;) d; qui répondent à deux modes de division arbitraires décroit indéfiniment en même temps que les éléments d, de ces divisions, et l’on a S' —S,

Nous pouvons donc conclure que la somme (x) désignée par Xf(E:) à, tend vers une limite déterminée et finie lorsque les partiesd; dans lesquelles on a divisé l’intervalle (a, b) tendent vers zéro suivant une loi complètement arbitraire.

Cette limite est l'intégrale définie de f(x) dx prise entre les limites a et b; on la désigne par la notation

(1) À FC) dx = lim 3 f(E) 2,

- da à cause de sa relation intime avec la fonction qui a pour dérivée f (x), comme on le verra plus loin.

La valeur Ë; de x étant choisie à volonté dans l'intervalle %:41 — 2%, on prend d'habitude &; — x, ct l’on a par suite

f f(x) dx = lim sf (æi) 9,

nN=©œ =]

309. Remarques. — 1° On a supposé f (x) continu dans l'intervalle (a, b), mais la somme (x) tendrait toujours vers une limite fixe et l’intégrale définie ne cesserait pas de subsister, si cette fonction devenait discontinue (63) pour un certain nombre de valeurs de x appartenant à l'intervalle (a, b), pourvu qu'elle reste toujours moindre (en valeur absolue) qu’un nombre fixe M. En effet, considérons encore les valeurs de Z f(E:) di, 2 f(x) 0x qui se rapportent à deux modes de divivion de l'intervalle (a, b), le second résultant de la subdivision des éléments 0; du premier ; nous prouverons comme au N° 808 que la différence absolue de ces deux sommes sera moindre que (b — a) « pour l’ensemble des intervalles d; dans lesquels l’oscillation de la fonction sera moindre que 5, et l’on verra facilement, d’autre part, qu’elle est inférieure à 2Me pour l’ensemble des éléments d; dans lesquels l’oscillation surpasse 0, c désignant la somme des intervalles d; dans lesquels la fonction f(x) devient discontinue. Comme so et € décroissent indéfiniment quand les 0; tendent vers la limite zéro, les valeurs successives de Zf(é;) d; tendront vers une limite fixe.

Il résulte évidemment de là que la deuxième partie de la démonstration ci-dessus, établissant que la limite est indépendante du mode de division de l'intervalle (a, b), s’étend aussi au cas actuel.

Ces conclusions peuvent encore être généralisées (1), mais nous nous bornerons aux cas considérés ici, où la fonction f(x) est continue dans l'intervalle (a, b), ou ne devient discontinue que pour un nombre limité de valeurs de x, sans que sa valeur absolue puisse surpasser un nombre fixe, et nous dirons alors que la fonction f(x) est intégrable dans l'intervalle (a, b).

2° [I résulte évidemment de la remarque précédente que l'intégrale b { (x) dx a

ne cesse pas d'exister et ne change pas de valeur, si l’on change arbitrairement la valeur de f(x) pour un nombre limité de valeurs de x, quelque grand qu’il soit d’ailleurs; parce que la somme des intervalles d; qui renferment ces valeurs de x décroissant indéfiniment, les termes correspondants de 2f(£;) d; sont sans influence sur la limite S.

(1) V. la note 1 à la fin du volume.

Par exemple, si f(x) passait brusquement d’une valeur à une autre pour x = à où pour x — b, l'intégrale ci-dessus ne serait pas altérée si l’on remplaçait f(a) par f(a + o) ou f(b) par f(b — o), ete.

3° Nous avons supposé, pour la démonstration, b > a, mais le raisonnement se ferait de la même manière si l’on avait a > b et toutes les différences æiy4 — x; — 0; négatives, Il suffit d'observer que l’on a

i=n IN st ÉTEd=— 2 FE) (—d)=— À FE) (—0), et comme cette somme rentre dans le premier cas considéré, elte a pour

a limite ( f(x) dx; on a donc: en passant aux limites,

chole Lcd = — (ça

Ainsi, renverser les limites d’une intégrale définie revient à changer son signe.

4° La définition de l'intégrale définie montre encore immédiatement que, À désignant un facteur constant, on a

3) (a et f HO

5o La signification géométrique de l'intégrale définie ressort de ce qui a été dit au N° 52. Soit une courbe dont l’équation, en coordonnées rectangulaires, serait y — f (x); décomposons l’aire entre les ordonnées f (a) et f(b) par des parallèles à l’axe des y; l'élément de l'aire entre deux parellèles correspondant aux abscisses x; et %;,4 sera compris entre les aires des rectangles qui ont pour base d; et pour hauteurs respectives l’ordonnée maximum et l’ordonnée minimum dans cet intervalle. Doncäl pourra être représenté par f(£;) d;, l’'ordonnée étant supposée continue et positive dans l'intervalle (x;, x:11). L’aire totale sera donc égale à lim 2f(E:;) di, ou à l'intégrale définie (1).

Si l’ordonnée était négative ou si b était < &, on trouverait une valeur négative pour l'aire cherchée.

310. Premier théorème de la moyenne. — Il suit évidemment de l'équation (x) que si f(x) est constamment positif ou nul dans l’intervalle (a, b), b > a, l'intégrale définie (1) scra nécessairement positive. Ce principe admis, soient (x), d (x) deux fonctions intégrables entre a et b;

il en sera de même du produit o (x) 4 (x). Admettons que Ÿ (x) ne change pas de signe dans cet intervalle, que @ (x) ne soit pas constant et ait pour limites maximum et minimum L et /. On aura, Ÿ (x) étant supposé > 0,

fu—emibeeæxo, (ete nya > d’où à b L (ptdr > (ete v(e de > 1 4 Ge dr,

done, si l’on désigne par g une quantité > let <°L, on aura, b b (1) Letpedr=p| dar

a Si (x) était constamment négatif, ou si b était < a, les inégalités changeraient de sens, mais la conclusion subsisterait. Si la fonction o (x) est continue dans l'intervalle (a, b), il existe une quantité £ © a et < b, telle que l’on ait p(£) — (63). On aura done, dans ce cas,

(5) RTC ETTCIRTL

Prenons, ce qui s'accorde avec notre hypothèse, Ÿ (x) — 1, les équations (4) et (5) deviendront respectivement

4) (eat 1>0>8 ct (

b (5) (etdr=(@—e@ b>E> a

349. Nous avons démontré que la valeur de l’integrale définie ne dépend pas du mode de division de l'intervalle (a, b) en intervalles 0; indéfiniment déeroissants. Si donc @, &+, .…, a, sont des valeurs déterminées de x entre a et b, il sera permis de supposer que tous les 0; soient des subdivisions des intervalles, fixes et tous de même signe, a — a, Ge — 4, .…., b — à», et l’on voit aussitôt par là que l'intégrale (x) sera la somme des intégrales partielles correspondant à ces intervalles, ou que l’on aura

(6) f(x) = (rte) a+ (rte) de À “+ f 0) da.

Il est de même facile de s'assurer, au moyen de l'équation (2), que la relation (6) ne suppose nullement que les quantités à, &1, @e,... a», b forment une suite toujours croissante ou toujours décroissante ; quelquesunes d’entr’elles pourraient même ne pas appartenir à l'intervalle (a, b), le théorème subsisterait, pourvu que f (x) soit intégrable dans l'intervalle compris entre la plus petite et la plus grande de ces quantités.

822. Si nous représentons par « une valeur quelconque de la variable entre a et b, et si nous formons, d’après les principes exposés ci-dessus, l'intégrale définie

Fr (x) de,

elle sera nécessairement une fonction déterminée æ (x) de sa limite supérieure. Cette fonction sera continue dans l'intervalle (a, b), car, pour un accroissement h, positif ou négatif, de la variable, on aura en vertu de la relation (6)

a (eh) — 0 (0) = | a donc, d’après l’équation (4), m (x + h) — (x) = uh,

u étant compris entre les limites maximum et minimum de / (x) dans . l’intervalle (x, x + h). Si h cst infiniment petit, comme Wu ne peut croître au dessus d’un nombre fixe, æ (x + h) — æ (x) aura pour limite zéro, ce qui démontre la proposition.

Si nous admettons en outre que la fonction f (x), qui peut devenir discontinue dans l'intervalle («, b), soit telle néanmoins que f (æ + o) et f(x — o) existent toujours pour chaque valeur de x qui rend la fonction discontinue (68), on aura, d’après la relation ci-dessus,

m(x+h)—a(x) hk BAS

FT rer,

et si l’on fait tendre À vers zéro, 1 aura nécessairement pour limite f (x + o) pour h © o, et f(x — 0) pour h <.o; on aura donc im ET) SG) f{&æ+o)sih>o,

ne ——

RER h f(x — o)sih <o;

et si la fonction f(x) est continue pour la valeur considérée de x, ce qui entraine f(x +0) = f(x) — f(x — 0) (63), il viendra (7) imee th) — (x)

te) h

= f(x), quel que soit la signe de h. Donc, l'intégrale («2

est une fonction continue de x qui admet une dérivée égale à f(x), pour toute valeur de la variable x pour laquelle la fonction f(x) est continue.

313. Ce théorème résout affirmativement la question posée au N° 282, savoir si, dans un intervalle (a, b) où la fonction f(x) reste finie et continue, il existe toujours une fonction qui admette pour dérivée f(x). La fonction

Aoe \ f(x) dx

jouit en effet de cette propriété. Nous savons de plus que x (x) + C, C étant une constante arbitraire, est la fonction la plus générale qui satisfasse à cette condition, et de là résulte une relation fondamentale entre l'intégrale définie ct l’intégrale indéfinie.

Admettons que l’on connaisse une fonction F (x) qui, dans l’intervalle (a, b), ait une dérivée égale à f(x) et qui soit par conséquent continue dans cet intervalle. Elle ne peut différer de æ (x) que par une constante C, et l’on a

f(x) de = F (x) + Ci.

Faisant tendre x vers a et observant que l’intégrale a alors pour limite

zéro (842), que F (x) a pour limite F (a), on trouve

F(a) + Ci=0o, C ——F(a), d’où

(8) Ç f(x) dx = F(x) — F (a).

Enfin, faisant tendre x vers la limite b, on aura

) () |. fe) de = F (D —F(u),

d’où ce théorème important : L'intégrale définie de f(x)dæ entre deux limites a et b entre lesquelles f(x) est continu, est égale à l'accroissement que prend une fonction F(x), dont la dérivée est égale à f(æ) duns l’intervalle (a, b), lorsque x passe de la valeur a à ia valeur b. Pour abréger l'écriture, nous écrivons cet accroissement comme il suit : b

Remarques. — 1° Ce théorème subsiste si f(#), étant intégrable, devient discontinu pour un nombre limité de valeurs Gi as ce Gp de P dans Pintervalle (a, b), du moment où F(x) reste continu dans cet intervalle et où l’on a F’(x) — f(x) pour les valeurs de x ou f(x) est continu. En cffet, on a vu (842) que la fonction æ(x) est aussi continue dans l'intervalle (a, b); donc les fonctions F(x) et æ(x) qui ont même dérivée dans chacun des intervalles (a + 0, ai — o), .. (ay + 0, b — o), sont égales, à une constante près, dans chacun de ces intervalles, et comme ces fonctions sont continues pour æ—=@, © = Guy 0 X —= Op, X —= D, la constante a la même valeur dans tous ces intervalles et dans l'intervalle (a, b). L’équation (8) subsiste donc ainsi que l’équation (9).

2° Une précaution est nécessaire dans l'emploi de l’équation (9) lorsque F (x) est une fonction à détermination multiple, telle que are tg x, le symbole are tg étant pris dans le sens général (85); F(a), F(b) admettent alors plusieurs valeurs qui, substituées dans l’équation (7), fourniraient des résultats différents pour l'intégrale définie, laquelle évidemment n’admet qu’une valeur unique si f (x) est une fonction simple. Le choix est déterminé par la condition de continuité imposée à F(x): après avoir attribué à F (a) l’une des valeurs que comporte F (x) pour x — a, il faudra choisir pour F (b) celle que l’on obtient en supposant que F (x) varie d’une manière continue lorsque x passe de la valeur a à la valeur b. Ainsi, l’on devra prendre

mur arc tg (1) — arct e

parce que, si are tg x est pris égal à zéro pour x = 0, et si x varie d’une

manière continue de o à 1, la fonction arc tg x, restant continue, atteindra la valeur 7 : 4. |

314. Les théorèmes sur l'intégration par décomposition, par partie, ete... s’appliquent aux intégrales définies. Il résulte d’abord, de la définition des intégrales définies et de l’égalité évidente

SF (E) Æ p(é) Æ +10; — Sf(E:) di ÆE 2p(Ë:) à E +

f(x), o(x), … désignant des fonctions intégrables entre a et b, que l’on aura

b b b (10) ( Lf(x) + o (x) Æ +] de — | f(x) de + | p (x) dx +...

En second lieu, partant de la formule de l'intégration par partie,

Jo(x)Ÿ' (a) da = p(x) p (x) — J Y (x) (x) dx

et appliquant l'équation (9) du N° 848, on aura évidemment

En) Leterptae ete) 4 (077 — À" pee ge de

ce qui est la règle de l’intégration par partie appliquée aux intégrales définies.