Revenons encore à l'équation

a (2) =— (°c dr,

f (x) étant une fonction intégrable dans l'intervalle (a, b)etx variant entre a et b. Posons æ = @ (2), @ (z) étant une fonction continue de z dans une intervalle (30, z;) tel que l'on ait pe) a (a) —b6, et admettant une dérivée œ’ (z) intégrable dans cet intervalle. On aura, comme ou l’a vu (822),

D fo) TO j (0) 9 (6) — fe (M ()

d’après la règle des fonctions de fonctions. Il en résulte, d’après le N° 313 æ (x) — ® [p(2)] étant une fonction continue de z, 7, (re (1 g (0 de = à Lo (a) — æ Le(e)1 = O — x (0, ou enfin

Zi b (12) l flp(z)19(:) de =[ r 6) dx.

C’est l’intégration par substitution appliquée à l'intégrale définie. On peut donc remplacer x par une fonction © (z) d’une nouvelle variable sous le signe d'intégration, pourvu que l’on prenne pour limites de la nouvelle intégrale les valeurs de z qui correspondent aux limites primitives, et que p(z) varie d'une manière continue dans cet intervalle. Ainsi, si l’on applique à l’intégrale la transformation

on aura, si a et b sont de même signe,

| rs) dx —— MIE

parce que Z —1:2z Varie d’une manière continue entrez—1:aet z— 1:D; mais cette transformation ne serait plus permise si a et b étaient de signes contraires, parce que 1: aet 1: b étant aussi de signes contraires, 1 : z passerait par l’infini entre les limites de l’intégration.

316. Deuxième théorème de la moyenne. — Soient o(æ), L(x) deux fonctions intégrables dans l'intervalle (a, b), en sorte que l'intégrale b | 2 (e) 4{e) de

aura une valeur déterminée et finie. De plus, admettons que o(æ) soit toujours positif et non décroissant dans cette intervalle. Il sera toujours possible, par un certain nombre de valeurs

X: —= u, X9s Love ln Ln+1 —— b, de décomposer l'intervalle (4, b) en n intervalles dans chacun desquels

l’oscillation de la fonction o (x) sera moindre qu’une quantité arbitrairement petite c, car on pourra toujours prendre pour l’une des valeurs x,

ci-dessus, toute valeur ë de x pour laquelle o (x) serait discontinue, et remplacer, sans changer la valeur de l'intégrale, o () par o (£ — o) ou par @ (ë + 0).

Désignons par C; une moyenne entre les valeurs de. P (x) dans lintervalle (&:, &;41), et par g (&) la différence (4) — G: dans cet intervalle; il s’ensuit que g (x) aura, dans tout l’intervalle (a, b), une valeur absolue moindre que oc. Nous aurons donc

Le cy(e x) dx = AMC jar = 2 (° LG g (x)] Ÿ (x) dx

i=1 Xi XLÿ+r == 5 | U (x) dx + [ g (x) Ÿ (x) dx. Xi (e Nous posons b b b Y(x) dx — d4, TON re | (a) dette x, Lo Lh d’où

sc, [pa dx Ci (di — 32) + Ca(2 — 35) 44 On (us — de) + Cudn

—= C; J1 + (C2 — C1) Jo “use + (C —C, 1)dn = C MC (J4, J>, ……s dan); car, d’après les propriétés attribuées à o (x), les quantités Ci, C2 — C,, Cr — C,, sont toutes positives. Mais la fonction de x

b Lt) de œ estune fonction continue de sa limite inférieure x; done, la valeur moyenne entre les intégrales J1, Jo... d, ne peut être que la valeur de cette intégrale qui répond à une valeur & de x comprise entre a et b. De ià

>, | “E Y{x) dx = C, (. U(x) dx.

D’autre part, désignons par M la limite maximum des valeurs absolues de Ÿ (x) dans l'intervalle (a + 0, b — 0); on a évidemment

WA ( g(x)Ÿ (x) dx € [gt ax) de M (b — a),

donc, si l’on désigne par À une quantité comprise entre — 1 et + 1, on aura

(ac phase ME),

— 1 lle et enfin b b \ p(x) Ÿ (x) dx = C; | #6 dx + ÀoM(b — a).

Faisons tendre vers zéro les intervalles (x, x:14); C, différera aussi peu

qu’on voudra de o (b — o), « pourra devenir moindre que tout nombre donné; on trouvera, à la limite,

b b (A) À 0) 4 (2) de = 0 (b—0) |, 4 (a) de.

Supposons maintenant que o (x) soit de signe quelconque, mais variant toujours dans le même sens dans l'intervalle (a + 0, b — 0). La fonction @ (x) — o (a + o) sera donc constamment positive et croissante, ou constamment négative et décroissante. Dans le premier cas, on prendra cette fonction pour la fonction o (x) de l’équation (A), ce qui donnera

(Le (a) — 6 (a 0j] (e) de 19 (b— 0) — g (a+ 0) ta) de,

d’où b ë b (3) fete) bye e (ao) (fu (a) de +8 — 0) [4 (a dr

Dans le second cas, on remplacera dans (A) o (x) par © (a + 0) — o (x) et l’on arrivera au même résultat. L’équation (13) est donc générale et constitue le second théorème de la moyenne.

317. Toutes ces propriétes et l'existence même de l'intégrale définie ont été fondées sur les hypothèses 1° que les limites a et b aient des valeurs finies; 2° que la fonction f (x) ne puisse croître au-dessus de toute grandeur donnée dans l'intervalle (a, b). Si ces conditions cessent d’être remplies, de nouvelles définitions sont nécessaires. Nous nous bornerons ici aux premiers principes.

1° L'intégrale de f(x) dx prise entre les limites a et o désigne la limite vers laquelle tend l'intégrale prise entre les limites a et x lorsqu’on fait croître indéfiniment x. Ainsi, par définition, on a

fe fl) de — lim j as

ax=0 à U

Par exemple, « étant > o,

Le Mucl rer I e% dx = lim | — — —.

le) a=0 & [|O œ

La limite est, tantôt infinie, tantôt indéterminée, tantôt, comme ici, finie et déterminée; nous indiquerons plus tard les caractères qui distinguent ces divers cas.

On interpréterait dans le même sens les notations

(ee)

(a f(x) de, Li f() dx.

2° Concevons que f(x) croisse indéfiniment en valeur absolue, lorsque x tend vers la limite b, et soite une quantité positive, aussi petite qu’on le veut. On posera, comme définition,

(fe) 1e im f(x) dx ;

cette limite pourra être, suivant les cas, infinie, indéterminée, ou finie et déterminée, Ainsi, l’on aura

19 dx ! ; T ——— — lim [are sin (1 — €) — arc sin o] ——- OYr—x ‘= <

De même, si f(a + 0) = +, on posera b b d — li D d Ve (rte) de — tm (fe dr

3° Enfin, si f(x) devenait infini pour une ou plusieurs valeurs de x comprises entre a et b, on regarderait l’intégrale comme la somme des intégrales étendues à chacun des intervalles dans l'intérieur desquels la fonction reste finie, et ces intégrales partielles seraient définies par la règle précédente. Ainsi, si l’on avait, a, étant > aet < b,

flai—o)=Eo, f(u +o)=+Ho,

on prendrait comme définition b LE b f(æ) dx = lim | [ f(x) dx + f(x) dx |:

a a Ft

e et n étant des quantités positives, infiniment petites et indépendantes l’ane de l'autre.

318. L’équation (9) du N° 8#8 subsistera pour ces intégrales que nous venons de définir, si {a fonction F (x) reste continue dans l'intervalle des intégrations. 1 n’y a nulle difficulté pour les intégrales à limites infinies. Mais si nous considérons le troisième cas, qui comprend le

second, nous aurons, la fonction F (x) étant continue dans les intervalles (a, ai — €), (a: + n, b), ce qui permet d’appliquer l'équation (0),

(re) dx = lim [F (a; —<)—F(a)+F(b) — F(a + n)] — F(b)— Fa) Him [F (a; — €) — F (ai +), ct comme le dernier terme se réduit à zéro à cause de la continuité de F (x) pour x = a;, on retombe sur l’équation (9).

De même, si dans l’équation (12) la dérivée &’ (z) de x par rapport à z devenait infinie pour une valeur de z de l'intervalle (z,, z:), on partagerait les intégrales relatives à x et à z en deux autres dans lesquelles cette difficulté ne se présenterait pas, et l’on démonterait ainsi que l’équation (12) subsiste, même lorsque +’ (z) passe par l'infini. De même pour les théorèmes du N° 314.

Ces remarques suffisent pour lever les difficultés qui se rencontrent dans les applications les plus usuelles.

S 2, APPLICATION DES THÉORIES PRÉCÉDENTES AU CALCUL DES INTÉGRALES DÉFINIES.

819, Lorsqu'on connai tl’intégrale indéfinie d’une expression f (x) dx, l'équation (9) du paragraphe précédent conduit presque toujours immédiatement à la valeur de l’intégrale définie. Ainsi, de la formule

ati

fr PRE En (CES

ai on déduit

(a dr ai

De même, de l'équation

€ , Sn2mx cos? mx de = + |? cç 2 Te au Lac on déduit, si = cst cnticr, Ti

2% T cos? mx dx — -:

Si m et n sont entiers et inégaux, on aura

{cos mx cos nx dx =; [co (m + n)x + cos (m — n) «| dx

__sin(m+n) nie sin (M —- n) x 2(m—Ln) 2(m—n) d’où

T COS MX COS nx dx = 0.

De l'équation du N° 804,

dx 2 ad —0 : | Pen VA (Vu) +ou> 0,

on déduira pour l'intégrale entre les limites o et x, en ayant égard à la condition de continuité imposée à la fonction,

Ç dx 2 A 0) T ————— = ————— (arc tg oo — arc tg o) = ——,. oa—+b cos x a? — b? 5 # /a? — b°

320. On trouvera aussi immédiatement, d’après la définition donnée pour les intégrales à limites infinies, si a est > o,

Dr APT Ê a? + ve KE 2a ; et en appliquant les formules (4) du N° 806, (ee) a (ee) pa b Ê e7%2 cos bxdx — PTTÉ Ç CRAN hIE al

Les formules de réduction, souvent rencontrées, se simplifient parfois notablement lorsqu'on les applique aux intégrales définies, et conduisent rapidement aux valeurs de celles-ci.

Par exemple, la formule (8) du N° 807 nous donne

m [sin” xdx — — sin”-1 x cos x + (m — 1) (sin”-? xdx,

d’où, prenant l'intégrale entreoetr:2,0na ee

( sin"? xdx,

sin” xdx — O m

et l’on en conclut immédiatement, en supposant m égal à un nombre entier, positif et pair 2n,

T T 22° 2n—I 2n — 1 (2 1.3...(2n —1)T sin?" XX ————— . 3h 1 Lu LEE EN EL eme D LR o 2 - 2n—2 2)o 2H 2 NUZ et en prenant m — 2n +1, FT SX 2 DA isa sin?+! RATE ne ee o 3.5...(2n +1) On a d’ailleurs T T Z 25. 5j Oo cos” xdx —\ sin” (+) de —| sin” zdz (e] (e) 2 T T ee en posant z—=-—x; d'où g Li 2 2 ( cos" ad — (sin x dx.

0 ge

Reprenons encore la formule du n° 294.

dx x ie 2M — 3 dx (a —at)" (2m—2) (1 Hat) om — 2 J(1 Ha) ; et cherchons l'intégrale entre zéro et l'infini. Le terme hors du signe f

s’annule pour x —0o et tend vers zéro lorsque x tend vers l'infini si m est entier et > 1. On a donc

Ç dx 2M — 3 F dx

rap o (1 + 2 5) Home. É

et cette formule de réduction nous ramène au cas de m = 1 traité ci-dessus, d’où co dx :1.3...(2m — 3)T Ç (ta) 2,4...(2m — 2)2.

/ax — x°

à celle de (1 + z°)-("+'dz. Aux valeurs x==0, x — a correspondent z = etz—0o, donc, en renversant les limites, changeant le signe et appliquant la formule ci-dessus, on trouvera F TTUX 1.3...(2 — 1) Jop/ax — x? 2:42

On a encorc, par le même procédé,

Tu m 4

eargnTi An — I

(evar-tz — --

( esta le,

d’où, a étant supposé positif et ñn > 7,

(» +) # CO A 11 ; earx" dr — er tra 2x, [e] a [e]

On en conclut, n étant enticr,

1.2.3...(N — I earç"— 1 dx — 3 ) 2 o a” Enfin, on trouverait encore par des formules de réduction tirées des équations (7) et (8) du N° 807, met n étant entiers et > o,

a. 1.3...(2M —1)1.3..(2n — 1)% | sin?" x Cos*" rde = 3m) (nt) o