S 1, QUADRATURE DES COURBES PLANES

330. Coordonnées rectilignes. — Soient y — f(x) l'équation d’une courbe plane BM (fig. 48) rapportée aux axes OX, OY se coupant sous un angle y, et S — ABMP l’aire comprise entre cette courbe, l’axe des x et deux ordonnées AB, MP qui correspondent aux abscisses x, et x. Décomposons cette aire en segments infiniment petits mpp'm' par des parallèles à l’axe des y; soient 1, æ; les abscisses Op, Op', dx; — 5 la distance pp’. L’aire du segment mpp'm' étant

Fig. 48. évidemment comprise entre celles des deux parallélogrammes de même base pp', construits sur la plus petite et la plus grande des ordonnées de la courbe dans l'intervalle d;, si l'on désigne par &; une ceriaine valeur de x prise dans cet intervalle, on pourra poser

aire mpp'm' —= f(E) d; sin y, . aire ABMP — sin y 5 f (Ë;) à,

et en faisant tendre vers zéro les éléments d;, on aura à la limite , x (1) S — sin | f(x) dx.

æo Si les axes sont rectangulaires, sin y — 1, donc

(2) SE ï. fx) dx.

æxo On conclut de là que l’aire comprise entre une ordonnée fixe et une ordonnée variable, considérée comme fonction de l’abscisse de celle-ci, a pour différentielle f(x) dx ou y dx, les axes étant rectangulaires. 331. Parabole. — La parabole, rapportée à un diamètre OX et à la tangente OY (fig. 49) à l’origine de ce diamètre, a pour équation y*—2bx, d’où

ang Lt

f(&)—=Vv 20.2.

L’aire OMP entre la courbe, l’abscisse OP — x et l’ordonnée MP — y, est donc, d’après (1),

Nr COL Ro Pas S— 26 sin; | dde —V'2bsiny. <a ou, en vertu de l’équation de la courbe,

= xy Sin 3 /

Cette aire vaut donc les deux tiers de celle du Fig. 49. parallélogramme OPMQ construit sur OP et MP. Si l’on prolonge MP jusqu'à sa rencontre en M’ avec la courbe, on verra que l'aire OPM' est exprimée, abstraction faite du signe, par la même intégrale, puisque OX est un diamètre des cordes parallèles à OY. Il en résulte que le segment MOM’ entre la parabole et une corde quelconque MM’ vaut les deux tiers du parallélogramme MQ Q'M’ construit sur celte corde et sur sa flèche OP.

332. Segment circulaire. — L'équation du cercle rapporté à deux diamètres rectangulaires est x? y? — a? ; le segment compris entre les deux ordonnées positives qui répondent à æ4—0 et x—x, a donc pour valeur

x SR s— | de y'a? — x?.

On trouve facilement, par la substitution x = a sin z, que cette intégrale a pour expression