XY—=— OÙ Y

4 4 4x Donc, y étant l’angle des asymptotes,

SR CI “LATE En L(£) 7 =, ? To

On remarquera que S deviendrait infini si l’on faisait x — 0, c’est-àdire si l’on comptait l’aire à partir de l’asymptote OY. 334. Cycloïde. — Si l’on prend pour variable d'intégration l’angle w (184), on aura ydx = a? (1 — cos w)° do, et l’on trouvera

(c — COS a) du =? à — 2 sin & -=sin © cos w + C.

Done, si l’on compte l'aire de la cycloïde à partir de l’origine O pour

laquelle © — o, jusqu’à une ordonnée MP qui répond à une valeur w de l'angle variable, on aura

LU I LI S— a? ( À 0 — 2 sin ü 4 sin c cos a )- 2 2

Retranchons cette aire OMP (fig. 50) de celle du rectangle OPFG qui a pour valeur 2ax — 24° (wo — sin «), lereste, c’est-à-dire l’aire OMFG, sera égal à

= (co —- sin © cos &),

ce qui est précisément l’aire du segment AMQ déterminé, dans le cercle générateur, Fig. 50. par la perpendiculaire MQ sur le diamètre AB. On a done

surf. OMFG = surf. AMQ.

Pour © — 27, on trouve S — 3Ta° : L’aire totale entre une arcade de cycloïde et sa buse est triple de l'aire du cercle générateur. 335. La cissoide est représentée par l’équation

PA xt

—— PRE | 24 —Z%X 20X — x?

a étant le rayon du cercle générateur. Cette courbe, symétrique par rapport à J’axe des x, a une asymptote parallèle à l'axe des y, représentée par æ — 2a. L’aire comprise entre la courbe, l’axe des x et cette asymptote a donc pour expression

24 x°dx ( V/2ax — x°

Si, dans la formule du n° 320,

2 x" dx 1,3. (2M — 1 M — 0 nn

Op/ax — x° 2.4. so. 2711 on remplace a par 2a et m par 2, on aura

et en doublant cette valeur, on trouvera 37a° pour l’espace indéfini

compris entre la cissoïde et son asymptote. Cette aire est done égale à celle de l’arcade de cycloïde engendrée par le cercle de rayon a. C'est là un premier exemple d’un espace non fermé qui possède une

aire finie et déterminée.