Considérons encore la courbe représentée par l’équation

m, n étant des constantes. positives, et cherchons l'aire S entre cette

courbe et les axes positifs. Cette aire est finie, car on a

y of À ,

et pour x — 0, y —b; pour x = a, y — 0. On a donc

s=v("(: mn) dx, o a”

ou, en posant x — az", substituant, et faisant pour abréger 1 : m— y,

(a) Li Ç gui (1 — 2) da.

Nous désignerons cette intégrale par B,, 4. Si dans les équations (7) et (8) du n° 308 nous faisons a = 1, b— — 1, p— y, q = pu — 1 pour les accommoder au problème actuel, elles donneront, puisque » et x sont des quantités positives, | |

y u — 1 B;, VE | via B;, HA en B, 0.

On déduira d’abord de la seconde, en supposant u > k + 1, k étant entier et positif,

== BR (B) Bu (uv) (uv)... (u+v—k+r)

Puis, en supposant » >> k, k entier et positif, la première donnera

on) v(v—i)..(v— k' +7) Qu + v — K)(u Hu —hk — 1). (uHv—k—k Hi)

By, B-k—1 e

By, ur: BV 5 uh te

Substituant dans (6), on aura (u— 1Qu— 2) (uv — 1 +) (y) B,, 1 TL nc Eve ee RE LL ke B, —k/,pakte Ge + vu +v 1). Qu + # + .

On ramènera ainsi les exposants de z et de 1 — z à être compris entre zéro et l’unité.

Si # est un nombre entier # + 1, et si l’on observe que

Bo À (4 a [le

on aura par les formules (6) et (x),

HS (JE ES @ me NE eR ARTE)

Sigest > oet < 1, et si u+-v est un nombre entier, on fera, dans

l'équation (y), k— 0 et k — pu + », et l’on aura Y(v— 1)...(1 —u) Ç RAR SL PU rh es ue (uv) (M v—1)...2.1 Jo ) Mais la substitution DE Ant) el du AUTEUR M4 ML ur G+u}”

transforme cette intégrale en celle-ci I (AUPARUU T ( ant (1 — 2) de = | = — , O 0 i +4 sin (4T d'après la formule du n° 82%, puisque « est une fraction moindre que l’anité. On a donc, dans ce cas

SE AU OR ie | 2... (x + v) sin UT

Dans le cas de l’ellipse, omnau—r—1:2,u—<+v—=1,

Pour la courbe

on aura

337. Les équations (1) et (2) donnent nécessairement, lorsque f(x) est négatif dans l’intervalle (x1, x), des valeurs négatives pour S, en sorte que les aires situées au-dessous de l’axe des x sont négatives. S'il arrive que la courbe traverse cet axe plusieurs fois, les aires comprises entre cette courbe et l’axe OX, seront tantôt d’un coté, tantôt de l’autre par rapport à OX, l'intégrale définie fournira l'excès des aires situées du côté des y positifs sur les aires situées du côté des y négatifs.

Il arrive fréquemment que l'aire S à évaluer est comprise entre deux courbes BM, B'M' (fig. 51) et deux parallèles AB’, PM’ à l’axe des y. Or, si l’on décompose l’aire BB'M'M en segments infiniment

Hip le petits par des parallèles à l’axe des y, on verra, comme au n° 880, que si l’on désigne par f(x), f(x) les ordonnées respectives des courbes BM, B'M', le segment compris entre deux parallèles «3, «'B' à OY correspondant aux abscisses æ;1, +; sera représenté, les axes étant rectangulaires, par une expression de la forme

[A(E:) 7% fi(Ë)] 0

et l’on aura encore

(3) EE (. Lfa(e) — fi(æ)] de.

S'il s’agit, par exemple, d'évaluer l’aire comprise dans une courbe fermée que les parallèles à l’axe des y ne coupent qu’en deux points, on emploiera la formule (3), en prenant pour f(x) et f(x) respectivement la plus petite et la plus grande valeur de y tirées de l’équation de la courbe, et pour %, x respectivement la plus petite et la plus grande valeur de x auxquelles répondent des points de la courbe.

228. Coordonnées polaires. — Soit r — f(0) l'équation d’une courbe en coordonnées polaires. Pour évaluer l'aire S du secteur compris entre cette courbe et deux rayons vecteurs OÀ, OM (fig. 52), on la partagera en secteurs infiniment petits par des rayons vec= teurs. L'aire du secteur mOm’ entre deux rayons Om, Om’ qui comprennent un angle AO sera comprise entre celles des deux secteurs circulaires de même ouverture, ayant pour rayons le plus petit et le plus grand des rayons vecteurs de la courbe entre Om et Om’. Elle s’exprimera

donc par

nn?

SÉ A6, Fig. 52.

p étant une moyenne entre ces rayons, et l'on aura, par suite,

1/9 (4) S—? | ru,

0, 9 se rapportant aux rayons OA, OM. On remplacera r par sa valeur f (8), on effectuera l'intégration, et l’on aura l'aire cherchée. 339. Exemples. — 1° Folium de Descartes. — L'équation de cette

courbe, y — 347y +2 = 0, transformée en coordonnées polaires, prend la forme

. 34 sinÿ cosû sin50 — cos’

L’aire du secteur compris entre l’axe polaire (9, — o) et un rayon vecteur quelconque a pour valeur S ga? fo sin? cos?0 d0 2 Jo(sin50 + cos59) Pour intégrer, on divise haut et bas par cos‘, on pose z — tg50 et

l’on a

3a? ( dz | I | - 3a° tg50

a ata a [itel 26 + 8)

Si l'on fait 9 — x : 2, on obtient pour l’aire totale de la feuille 3a° : 2

90 Secteur elliptique. — OA — a, OB — b étant les deux demi-axes (fig. 55), sur le grand axe comme diamètre décrivons un cercle; soit N le point de ce cercle qui a même projection P sur OA que le point M (r, 0) de l’ ie ; posons BON — u. Nous aurons

: b æ=—1r Co—a sinu, y—r sing — a NP—b COSU,

d’où do b du

b tw0——çcotu, ————— r? d0 — — ab du.

& a * cos’0 a sin°u

L’aire du secteur elliptique BOM a donc pour expression

340. On verrait de même que l’aire comprise entre deux courbes AM, A'M’, ayant respectivement pour équations T1 —= f1(8), Te —= f2(8), ra LT et deux rayons vecteurs OAA’, OMM' s'exprime par l'intégrale

ô g (5) —; ( cr).

Exercices.

#4. Aire de l’hyperbole entre la courbe, l’axe réel et une ordonnée quelconque y.

bb. ,y———— œ ab = "Va, S S=+—— (+ +2):