VOLUME D'UN SOLIDE
345. Considérons une surface dont les sections, parallèles à un plan fixe, sont des courbes fermées dont l’aire est unc fonction donnée p(x) de la distance du plan sécant au plan fixe, Le volume V compris sous cette surface, entre un plan donné x = x, et un plan variable quelconque x, est une fonction F(x) de l’abscisse x de ce dernier, fonction dont l'accroissement AF(x), pour un accroissement Ax de la variable, est égal au volume de la tranche infiniment mince MPNM’P'N’ (fig. 55) comprise entre les plans x, x + Ax. Projetons chacun des points de la surface latérale de la tranche MPNM'P’N’ sur le plan de la section MPN, ces projections tomberont dans un certain espace qui sera limité extérieurement par un contour RSQ, intérieurement par un contour R'S/Q’, et le volume de la tranche AF(x) sera évidemment compris entre ceux des cylindres qui ont pour bases respectives les aires limitées par les contours RSQ, R’S/Q/, et pour hauteur commune l'épaisseur MK — Ax de la tranche. Or, le Fig. 55. rapport du volume de l’un quelconqne de ces deux cylindres, au volume
du cylindre de hauteur MK qui a pour base la section MPN, a pour limite l’unité, car ces trois cylindres ont même hauteur MK, et les aires limitées par les contours RSQ, R’S’Q’ ont l’une et l’autre pour limite l’aire de la section MPN lorsque MK tend vers zéro. Il en est de même, par suite, du rapport des volumes de la tranche MPN M’P'N' et du dernier ‘cylindre.
Or, le volume du cylindre quia pour base MPN a pour expression o(x) Ax, donc le volume V dont il ssagit est une fonction F(x) de x qui a pour dérivée (x), qui s’annule pour x — x; il a donc pour expression (1) V — [ p(x) dx.
Xo
Toutes les fois que la fonction œ(x) qui représente l’aire de la section sera donnée, la formule (1) ramènera à une simple intégration la détermination du volume V.
346. 1° Ellipsoïde. — L'ellipsoïde qui a pour équation x? y? 2?
srBta— a pour section par un plan x quelconque, une cllipse dont les demi-axes sont donnés par les expressions
Donc, d’après la valeur connue de l’aire de l’ellipse (882), nous aurons
x° o(e)— ie ( : —$ ); et en prenant % — 0,
V — rbc Ne —£) de — nbe (a — ©) £ o) a 34°
Si l’on fait x — a, on a la moitié du volume total de l’ellipsoïde, qui est symétrique par rapport au plan YZ. Ce volume total est donc
+ rabc.
Construisons le cylindre qui a pour base l’ellipse dont les axes sont
24, 2b, dont la hauteur est égale au troixième axe 2c. Son volume sera 2rubc; le volume de l'ellipsoïde en vaut les deux tiers.
2° Paraboloïde elliptique. — La surface a pour équation ÿ 12 DATE
la section faite par un plan‘ x est une ellipse dont les demi-axes sont
by/2%, c V/2x, et l'aire
p (x) = 27bcx.
Le volume du paraboloïde entre la surface et un plan x normal à l’axe est donc
V — 2rbc Ç dx — rbcr?.
C’est la moitié du volume du cylindre qui a pour base la section faite par le plan x et pour hauteur la distance de ce plan au sommet. 343. Volume compris entre le plan XY, le plan z — «, et la surface qui a pour équation (RH y)" (at + 2°) — (y? — 2?) (2? — a?) 2° — qaxyz$ — 0.
La section faite par un plan z quelconque, projetée en vraie grandeur sur le plan XY, est une courbe dont l’équation est
(+ y} (: +£) NUE) (: ne =) pr ge = # Posant a : z — tg C, cette équation devient (ae? + y)? — 22 (y? — x?) cos26 — 2xyz* sin2£ — 0. ou, en coordonnées polaires, r? — 7° cos 2(0 — €) — 0.
C'est une lemniscate dont z est le demi-axe, et dont l'aire totale (Ch. XXXIIL, S 1, ex. 6) est z°.
On a donc ici
œ 6j INTER v= | la (e 3
C'est Le tiers du volume du cube de hauteur «.
848. Solides de révolution. — Une courbe plane BM A (fig. 56), qui a pour équation y — f(x), tourne autour Fig. 56. de l'axe OX situé dans son plan; elle engendre une surface de révolution. La section faite par un plan normal à l’axe OX est un cercle dont
le rayon est l'ordonnée y de la courbe; on a ici o(æ) — rg° — rf(x)’; le volume V entre le plan * et un plan arbitraire x est donné par la formule
(2) V=—= Tr Ç y? dx.
C'est la formule pour la cubature des solides de révolution. Si la courbe génératrice est une cycloïde, on a y'dx = aÿ(1 — cosw) dx,
et en prenant x — 0, d’où wo = 0,
V = rai Fe — 3 cos — 3 cos? — cos5w)do o
(A) À : sin5o — Tûÿ (E—4 sin + sin & COS À )
wo — 27 donne, pour le volume engendré par une arcade entière, 57r°a5. Si l’aire génératrice du volume est comprise entre deux courbes BM, B'M’, situées d’un même côté de l’axe des x, et ayant pour équations
yi= f(x), ys = fax), (yi < ye), la section normale à l’axe sera un anneau circulaire compris entre deux cercles de rayons y1 et 725 on aura q(x) = T(y5 — y), et
V — r (Gi — 5) dx Lo
exprimera le volume compris entre les plans x et x normaux à l'axe. Supposons que l’on prenne pour courbe génératrice le cerele
x +(y—c}—=a, c>a, dont l’équation nous donne yi=c—pa—a, ys=c+pa a, yi— y} —40p/a— a,
Le volume du tore engendré par la révolution de ce cerele autour de l'axe des x, entre les plans x — o et x, sera
x Lt x V=aTc\ dx g/a? — x? — arc | x /a? — x? a° arc sin - }; o | a
et le volume total sera, comme on le voit sans peine, égal à 27°ca?. Si c était <a, le cercle générateur serait coupé par l'axe OX; le
