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volume à évaluer se composerait de deux parties, l’une dont la section œ(x) est un cercle ayant son centre sur l’axe et son rayon égal à c + pa — x°; l’autre dont la section est un anneau circulaire, et qui se calculerait comme ci-dessus. |

Dans tout ce qui précède, on a supposé que la fonction œ(x) qui exprime l'aire de la section de la surface normalement à l’axe des x, était donnée d'avance. S’il en était autrement, le problème de la

cubature exigerait une double intégration, comme on le verra plus loin,

Exercices.

4. Volume de l’hyperboloïde gauche x? y? 22 a? L? 2 pe entre les plans 2—0,z2—=6c R. V=— a4nabc: 3, 2. Volume compris entre le paraboloïde æy — az, le plan x + y + z— a, et le plan XY.

* Path PRPERR A — PERS à :

R p (x) PATES ON à (2 4 3, Volume compris entre le plan XY ct le conoïde qui a pour base l’ellipse

x? pue:

ss — = I, a vb?

pour directrice rectiligne la droite y —0, z2—c, la génératrice étant parallèle au

plan YZ.

b ele a 7 R. p(x) = — ar Dee Vi = = abc.

4. On prend pour directrices l’ellipse construite sur les demi-axes OA = a, OC—c (fig. 57) dans le plan XZ, et une droite AB coupant les axes OX, OY aux distances respectives OA — a, OB=—b; pour génératrice une ellipse MN dont le centre est sur OX et les axes parallèles à OY, OZ. Trouver le volume compris entre la surface et les trois plans coordonnés.

rbe —— rabc fr I À. L)=—(a— x a? — x? V= —— = — e DÉCÉELCETREE É :) 5. Démontrer que le solide engendré par un triangle Fig. 57

variable dont le plan reste parallèle à lui-même et dont les sommets glissent sur trois droites fixes a pour expression

h à (Se + 48: + Sa),

Sos Sa, Sa étant respectivement les aires des sections extrêmes et de la section moyenne, h la distance des sections extrêmes,

6. Volume engendré par la révolution de la chaînette (Ch. XVII, ex. #) autour de l’axe des æ, entre le plan x — 0 et un plan æ quelconque.

a R. V — — + | 4 3. Même problème, la courbe génératrice étant la logarithmique y — al. æ. R. V=—= raz [(Lx)? — 21.x + x].

8. Volume engendré par la révolution de la développée de l'ellipse (228, II) à autour de l’axe des x.

R. v— 37 rap.

9. L'aire comprise entre la courbe qui a pour équation en ccordonnées polaires r — f (0) et deux rayons vecteurs définis par les angles 60 et 6, tourne autour de l’axe polaire. Prouver que le volume engendré a pour expression

2 ) V—=- {(0)° sin6d6.