S #. QUADRATURE DES SURFACES DE RÉVOLUTION

8349. Nous appellerons aire d’une portion de surface courbe la limite de la somme des aires des facettes d’un polyèdre inscrit dans cette portion de surface, lorsque ces facettes décroissent indéfiniment dans tous les sens (V. plus loin, n° 875). Nous admettrons que l’on soit parvenu,

en partant de cette définition, à l'expression connue de la surface latérale du tronc de cône droit.

D'après cela, supposons qu’on ait à évaluer l'aire S de la surface engendrée par une courbe plane BM (fig. 58) tournant autour d’un axe OX, entre deux plans menés normalement à l'axe par les points A(x — x) et P(x — x). Si nous décomposons cette surface en bandes infiniment étroites mpp'm'... par des plans perpendiculaires à l’axe OX, puis ces bandes en éléments «f39y par un second système de plans, infiniment rapprochés, passant par l’axe OX, nous prendrons pour facctte élémentaire du polyédre inscrit le trapèze «fy9 qui a mêmes sommets que cet élément de surface, et la somme des aires de ces facettes, prise à la limite, nous donnera l’aire de la surface proposée. Or, la somme des aires des facettes comprises dans une même bande mpp'm/ a pour limite, lorsque tous les côtés «y tendent vers zéro, la surface latérale du tronc de cône qui a pour bases les cercles mp,..., m'p',... engendrés par les ordonnées y, y + Ay des points m et m’, surface donnée par l’expression r(2y + Ay)9, 9 désignant la corde de l'arc mm’. Nous aurons done, en désignant par 2 une somme qui s’étend à toutes les bandes,

S — 27 limZ(y + { Ay)d.

On peut prendre les éléments mm’ assez petits pour que Ay soit moindre, en valeur absolue, qu’une quantité arbitrairement petite « pour l’un quelconque de ces éléments, et comme 29 a pour limite l'arc BmM, ZAy.9 aura pour limite zéro. Donc

Fig. 58,

; : Ay° S — 2r lim 2y9 — 27 lim ZyAx I Re ,

ou enfin, en exprimant Ay: Ax par le théorème de M. Bonnet et ayant égard à la définition de l’intégrale définie (806),

(1) S=—=2T [E ydx V4 h + f'&),

y — f(x) étant l’ordonnée de la courbe génératrice. On écrit cette formule d'une manière abrégée

(2) S— ar |

ds désignant la différentielle de l'arc.

yds,

L'équation de la courbe fait connaître y et ds, et une simple ARE ture suffit pour obtenir l’aire cherchée.

350. Prenons comme exemple l’ellipsoïde de révolution autour de son grand axe. L'ordonnée de la courbe génératrice a pour expression

DITES JR V/a ait a d'où, posant a? — b? — a’, on tire ds dx y a? — c°x° ARE É Vita ER eEE : depa—eéx ( — X na? — x?) a 2 MAIRES

et en substituant dans l'équation (2), posant % — 0,

2Tb fx anbe (x a?

S—— | dxy/a? — cx? — — \ dx 4 (22 O (4) O e?

ou enfin, d’après une formule déjà établie (882),

ST (2 /a? We + ares À) :

Si l’on fait ici x — a et que l’on double la valeur de S, on aura pour la surface totale de l’ellipsoïde

he al arc Sin € S,— arab (1 — 8 + 3 ):

On en déduit la surface de la sphère en faisant b— a, d’où 5 — 0: = Fee S'il s'agissait d’un ellipsoïde aplati, ou de révolution autour de son petit axe 2b, on aurait

y = Fr LS iNMainebtes be?,

= dx VE + se,

et en cherchant l'intégrale indéfinie, puis déterminant la constante de façon que l'intégrale soit nulle pour x — 0,

SF lever LÉ (EEE).

— MB —

En posant x — b et doublant le résultat, on trouvera pour la surface de l’ellipsoïde aplati

Se — arab | x F4 EEE) ; 354. On tire des équations de la cycloïde (842) yds — 2a? (1 — cosw) sin “odo.

L’aire de la surface engendrée par un arc de cycloïde commençant à & = O aura pour expression

(4) CA | o ., I S — gra | (1 — cosw) sin -wdo — Sra?| sin — wdo 0 2 0 2

(® nn: À 02 I LR — 87Ta 1 — cos’ -@ }sin-wdo — 16ma? | —— cos-« + - cos - «w )- [e) 2 2 3 2 3 2