DES INTÉGRALES DOUBLES

353. Soit f(x, y) une fonction simple, finie et continue de x,ydans une région déterminée T (480). Partageons cette région, par deux systèmes de lignes droites ou courbes, en un nombre arbitraire de régions infiniment petites dans tous les sens, et soit Zf(E, n) © la somme, faite pour tous ces éléments de la région T, de la valeur (6, n) de la fonction en un point arbitraire. (£, n) de l'élément multipliée par l'aire « de celui-ci. On peut démontrer, comme nous l'avons fait pour les fonctions d’une seule variable, que la somme Zf(ëé,n)w tend vers une limite finie et déterminée, indépendante du mode de décomposition de la régionT et du choix du point (E,n), lorsque tous les éléments w décroissent indéfiniment.

D’après une propriété établie au n° 488, il est permis de supposer que les éléments w soient pris assez petits pour que les oscillations de la fonction f(x, y), dans l’un quelconque de ces éléments, soit moindre, qu’un nombre donné sc arbitrairement petit. Subdivisons un élément ow;en éléments plus petits suivant une loi quelconque; soit w’ l'aire de l’un de

ces sous-éléments, f(£’, 1’) la valeur de la fonction en un de ses points, if (Ë',n')w’ la somme des produits correspondants pour tous les éléments w’ de w;. D'après la remarque ci-dessus, on aura

M IF (En) — fn] < 0, AZ [F(E,n°) — fon) ©" = VA Di (E',11) © — (Ein) ©] < ao, et en raisonnant de même pour chacun des éléments «;, désignant par Zf(Ë’,n') w’ la somme, analogue à Xf(E, n) w, étendue à tous les éléments w’ compris dans la région T, on aura évidemment

(CES SF (Ein) w = 3f (Er) © + neT,

T étant l'aire totale et n une quantité > — r et << 1. Comme T a une valeur fixe, que © peut décroitre autant qu’on le veut en prenant les w suffisamment petits, il suit de l’équation (x) que Zf(E, n’) w’ et Zf(E, n) w finissent par différer aussi peu qu’on le veut et que ces sommes ont une limite S (48).

Cette limite est indépendante du mode de division de la région T en éléments indéfiniment décroissants, car si l’on compare les sommes Z/(E, n) w, S{(Ë’, n°) w’ qui se rapportent à deux modes de division différents, les éléments w et w’ étant assez petits pour que, dans l’un quelconque d’entr'eux, l’oscillation de f(x,y) soit moindre que os, on considèrera un troisième mode de division résultant de la superposition des deux premiers, ou de la combinaison des systèmes de lignes qui les déterminent. Tout élément w’’ de ce troisième mode sera donc une subdivision d’un élément w du premier mode et d’un élément w’ du second; soit (£/’,n’) un point qui appartient à w”’, Zf(E’’,n'')w/' la somme correspondant à ce troisième mode de division. En la comparant successivement aux deux premières et ayant égard à l’équation (x), on aura

SH (En) w"" — 2f (é,n) A) —- noT, > f (Sn) D!!! — Sf(E',n’) a’ + n'oT, n et n’ étant compris entre — 1 et + 1; donc Zf(E', n)o'— Ef(é,r)© =(1—")eT aura une valeur absolue plus petite que 206T et qui décroitra indéfiniment lorsque w et w’ tendront vers zéro. On a donc

lim Zf(E’, n!) ©’ — lim Zf(E, n) w —S.

Comme aucune supposition n’a été faite sur le choix du point (£, »)

dans l'élément ©, il suit de la démonstration que S ne dépend pas non plus de ce choix.

La limite S dont l'existence vient d’être établie s’appelle une intégrale double étendue à la région T, et nous la désignerons par la notation

Îr /(&: y) AT ;

T se nomme le champ d'intégration.

358. Le théorème s'étend au cas où la fonction f(x, y), tout en restant numériquement moindre qu'un nombre fixe M, deviendrait discontinue en un nombre fini de points ou sur un nombre fini de lignes dans le champ d'intégration T. Supposons que f(x, y) devienne discontinue en un point (x, y:1) de la région T. Décomposons, comme ci-dessus, T en éléments w tels que l’oscillation de la fonction f soit moindre que « dans chacun d’eux; il n’y aura d’exception que pour l'élément (ou les éléments) w, auquel appartiendra le point (x, y:). Si l’on subdivise les éléments w en éléments plus petits «”’, l’oscillation de f(x, y) sera encore moindre que o« pour chacun de ceux-ci, à l'exception des éléments w’ auxquels appartiendrait le point (x, y:); donc, la différence absolue des sommes Zf(E/,n)w’ et Zf(E, n) « sera moindre (853) que oT pour l’ensemble des éléments w qui ne renferment pas (x, Y1), et moindre que 2Me pour les autres, € désignant la somme des aires de ceux-ci; comme € et a peuvent être rendus aussi petits qu’on le veut, la différence des deux sommes ci-dessus aura pour limite zéro. La seconde partie de la démonstration s’étendra sans difficulté de la même manière.

S'il y avait plusieurs points de discontinuité de la fonction f dans la région T, le même raisonnement s’appliquerait à chacun d’eux et la conclusion serait la même.

Supposons que f(x, y) devienne discontinue, tout en restant finie, en tous les points d’une ligne ab (fig. 62) comprise dans la région T, et susceptible d’être renfermée dans un espace plan

Fig. 62. aussi petit qu’on le voudra; on lraisonnera de même. Il ne sera plus possible de décomposer T en régions infiniment petites dans tous les sens, telles que l’oscillation de la fonction y soit moindre qu'une quantité donnée ©, mais la portion de la région T dans laquelle cela ne pourra avoir lieu, ou la somme des aires des éléments w

dans lesquels l’oscillation surpasserait ©, pourra, d’après l'hypothèse, être rendue plus petite que tout nombre donné, et le raisonnement fait plus haut sera encore rigoureusement applicable. En sorte que Zf(E, n) w finira par ne plus éprouver que des variations insensibles lorsque tous les éléments © tendront vers zéro d’une manière quelconque, et cela quelle que soit la détermination du point (6, 1) dans chaque élément correspondant.

359. Le même mode de raisonnement permet encore de montrer que la limite vers laquelle tend la somme Zf{é, n)w, étendue à tous les éléments © d’une région T, ou l'intégrale (r f(x, y)dT, n’est nullement altérée si, dans les termes de cette somme, on augmente ou diminue un nombre fini ou indéfiniment croissant des éléments © de portions infiniment petites w’, même non comprises dans la région T; il suffit toujours que la somme s des aires de ces éléments «’ finisse par décroître au-dessous de toute grandeur donnée, lorsque les éléments &@ tendent vers la limite zéro. Cette remarque nous sera fort utile.

Enfin, la région T pourra être composée de plusieurs régions distinctes dans le plan : il suffira de regarder l'intégrale

Jrf(x, y) dT

comme la somme des intégrales étendues à chacune des parties.

8360. Il suit immédiatement de la définition de l'intégrale double que si L et { sont respectivement les limites maximum et minimum de f{x, y) dans la région T, on aura toujours

(1) Jr {es AT = Ty,

a étant une certaine quantité comprise entre let L.

Si la fonction f est continue dans la région T, on conclura de là et du théorème du n° 4187 que

fe f(x, y)dT = TJ(E, n), (Ë, n) désignant un point de la région T, mais qui n’appartient pas à son contour.

361. L'évaluation d’une intégrale double se ramène à deux intégra-

tions successives par rapport à deux variables. Pour le démontrer, nous établirons le principe suivant.

Soient y:, y2(y1 < y2) deux fonctions de x, continues dans un intervalle

(a, b); f(x, y) une fonction de (x, y) continue dans la région T limitée par le contour (y — y:, Y — Y2, & — à, x — D) (L80). L'intégrale

(re (x; y) dy, Ys

dans laquelle x est traité comme constant, est une fonction ® (x) de cette quantité : cette fonction (x) est continue dans l’intervalle (a, 6). En effet, soit À un accroissement infiniment petit de x; on aura

Tr LE RD dy — F f(, y) ay

TEDETOE ie =." Va

f(x+h;y)dy —

9 A 2 ( ÆN: fe hp.

=f Lf(h,y)—f (ay) dy +

D’après ce qu'on a vu au chapitre XXXII, si l’on prend k assez petit pour que l'on ait, quel que soit y, A+, y)— f(x y) <e, ce qui est possible en vertu du théorème V du n° 489, et si y', y’ désignent des quantités respectivement comprises entre 7, et y: + Ay:; Ya et y2 Ay:, on aura

Alp(+h)—g(x)i<e(ye—y1) EVA h,y7) Ayr + Af(e + h,y") Aus.

D'après notre hypothèse, €, Ay: et Ay; tendent vers zéro lorsque h tend vers zéro, quel que soit son signe ; donc o (x + h) — o (x) sera infiniment petit avec h.

Plus généralement, si y et y2 sont des fonctions intégrables de x (807, 1°) et si la fonction f(x, y) ne devient discontinue qu’en un nombre fini de points de la région T, ou sur un nombre fini de lignes pouvant être renfermées chacune dans une aire aussi petite qu’on le veut, la fonction œ (x) sera intégrable dans l'intervalle (a, b). En effet, o(x) a une valeur finie ; de plus, d’après ce qui vient d’être établi, cette fonction est continue dans l'intervalle (a, b), ou bien l’on peut décomposer l’intervalle (a, b) en un certain nombre d’autres, dans chacun desquels elle jouit de cette propriété.