Cela posé, reprenons l'intégrale double

1= fr f(e; yet,

et supposons que le contour de la région T ne puisse être rencontré par une droite en plus de deux points, que a et b soient respectivement la plus petite et la plus grande valeur de x appartenant à ce contour. Décomposons la région T en bandes par des parallèles à l'axe des y, et soient mnn/m'. une de ces bandes, comprise entre les valeurs x;, x;,, de x, di = œiys — x: Sa largeur. Par les points de la droite mn, menons des parallèles à OX; soit Yyry1 — Yyx — yx la distance entre deux parallèles consécutives. En opérant de même pour toutes les bandes, l’aire T sera décomposée en éléments infiniment petits en tous sens si 0), ya peuvent décroitre indéfiniment, et nous prendrons pour l'élément « l’un quel- conque de ces rectangles! compris entre deux parallèles à l’axe des y et deux parallèles à l’axe des x, d’où w — dy»; pour le point (£, r) de cet élément, le sommet (x, y:) le plus rapproché de l’origine.

Nous aurons donc

Fig. 63.

Sfr) © = 3f (to y) qe

Il est vrai que, de cette façon, nous ajoutons généralement à la région T, ou nous en retranchons, des éléments w’, en nombre indéfiniment croissant, situés le long du contour de cette région; mais on voit sans peine que la somme des aires de ces éléments w’ finira par devenir moindre que toute grandeur donnée lorsque les d; tendront vers zéro, puisque la somme des rectangles de hauteur mn et de base d; a pour limite l’aire de la région T (887); l’intégrale double n’en sera donc pas altérée.

Groupons d’abord les éléments de la somme ci-dessus qui appartiennent à une même bande mnn'm’ ; nous aurons pour résultat

OPA LU TE Yx)yr;

et lorsque les éléments y; tendront vers zéro, le coefficient de d; aura pour limite l'intégrale définie

yo (fa, ay,

ey1

y. et y: désignant respectivement les ordonnées des points n et m (y:<y2). On peut donc poser

yo Zf(ai, yx)yx = ( f(x, y)dy + H, YA

H; désignant une fonction de x; qui a pour limite zéro lorsque les intervalles y. tendent vers zéro. En répétant ce raisonnement pour toutes les bandes, on trouvera

Ye

Sf (a ya) don = 3d, fu y) dy EL SH ÿ1 Mais, d’ane part, les d; et les y; étant indépendants, on peut faire

décroître les intervalles y; pour toutes les bandes simultanément, jusqu’à ce que la quantité H; soit moindre qu’une fraction arbitrairement petite e dans chacune d'elles, en sorte que l’on ait

W\A2H,0; « (b res. a) €.

D'autre part, y, et y: sont des fonctions de x déterminées par le contour de la région T, et nous supposerons que ces fonctions, ainsi que

f(x, y), satisfassent aux conditions d’intégrabilité indiquées au numéro précédent. Dans ce cas, l'intégrale

\ f(x, y) dy

sera une fonction intégrable o (x) de x dans l'intervalle (a, b), (864) et nous aurons

2 b lim 29, [ fx» y) dy = p (x) dx, Ya "

donc, définitivement, b ya

(2) (fee, var —( de |” fa pay.

Ainsi l'intégrale double est obtenue par deux intégrations successives, l’une par rapport à y, x étant invariable, entre deux limites qui dépendent généralement de x; l’autre par rapport-à x, entre deux limites constantes.

363. Ilest clair que l'on aurait pu procéder dans l’ordre inverse, décomposer T en bandes par des parallèles à l’axe des x, et chaque bande en éléments « par des parallèles à l’axe des y. Dans ce cas, si l'on désigne par x, 2 (ti x) les valeurs de x qui se rapportent, sur le

contour de T, à une même valeur de y quelconque et qui sont des fonctions données de y, par c, d (cd) les valeurs extrêmes de y qui appartiennent à la région T, on aura de même

d x (3) Fu fes DT = À dy [ fe, par.

Tout cela suppose que le contour de T soit continu et ne puisse être coupé par une droite en plus de deux points. Si ce contour était d’une nature plus complexe, on pourrait décomposer la région T en plusieurs autres dont chacune satisfasse à ces conditions; on appliquerait alors le théorème précédent à chacune des régions partielles, et la somme des intégrales qui s’y rapportent donnerait, comme on le voit facilement, l'intégrale double [rf(x, y) dT étendue à toute la région T.

8364. Un cas très simple est celui où la région T se réduit au rectangle compris entre deux droites x — a, x — b parallèles à OY, et deux droites y —c, y — d parallèles à OX. On a, dans ce cas, y, et y2 se réduisant à c, d, et x1, x à à, b,

b d d b Fefesy)d7 = {x À fe y dy = (ay (tes de a C C a

Il en résulte que st l’on a à intégrer une fonction f (x, y), satisfaisant aux conditions du n° 861, successivement par rapport à x et par rapport à y, entre des limites constantes données, l’ordre des intégrations est indifférent.

365. Supposons maintenant que f(x, y) soit une fonction continue des variables dans le voisinage d’un point (x, y) de la région T (135), limitée par le contour rectangulaire (a, b, c, d), et considérons l’intégrale suivante, qui est évidemment une fonction de x et de y,

7 y Ç dx ( x, y) dy —F (x, y).

Si h, k désignent des accroissements infiniment petits de x, y, on a

F(x+h,y+k) —F(x,y)— fs dx (os f(x, y) dy -—- fl dx ÿ fa, y) dy

x yk æ—-h y+k = | |? ACCES A CT C7

(42 d’après la décomposition établie au n° 810. Si M désigne la limite maximum des valeurs absolues de f(x, y) dans la région T, on voit sans

peine que les deux intégrales dans le second membre sont numériquement moindres que WAÆM (x — a) et WAAM (y + k — c); elles tendent donc vers zéro en même temps que hetk et F(x, y) est une fonction continue de (x, y).

De plus on a

F(e-hy)—F(ry) 1f#th, (v Cape ue =; de (ftp dy =; | p (x) dx,

@ (x) désignant la fonction intégrable de x y (rc y dy.

Mais o (x) étant continue dans le voisinage du point considéré, on peut mettre le dernier terme sous la forme ® (6), ËE étant compris entre x et x + h, (809), et en faisant tendre À vers zéro, on aura

F(xLh,y)—F(x,y)

lim F —= (x),

D, (ax (7 rte) dy = (tan) dy. On trouverait de même, en intervertissant l’ordre des intégrations, D, (ue (ren ay = (rende, et enfin, de l’une de ces deux équations, on tirera D;D, B dœ f f(x, y) dy = f(x, y).

366. Pour ramener l'intégrale double à deux intégrales successives, nous avons décomposé la région T en éléments « par deux systèmes de droites respectivement parallèles à deux axes coordonnés rectangulaires, mais on pourrait adopter d’autres modes de décomposition.

Par exemple, si l’on prend pour lignes de décomposition des droites partant d'une origine O (fig. 64) et des cercles ayant ce point pour

Hig.264, centre, un point quelconque de la région T sera déterminé par l'intersection d’un cercle de rayon r et d’une droite

d’argument ©, et aura pour coordonnées polaires r et 0; l'élément @, compris entre deux cercles de rayons r, r + Ar, et deux droites d’arguments 0, 0 + A0, aura pour expression

4 [(r + Ar)! — r?] A0 — (r + À Ar) Ar A6, et l’on aura, en substituant à x et à y leurs valeurs en r et 0, {7 f(&, y) dT = lim Zf(r cos 0, r sin 6) (r +4 Ar) Ar A6.

Comme f(x, y) Ar peut être supposé moindre qu’une fraction donnée e pour tous les éléments simultanément, et que l’on sait déjà que ZArAG tend vers une limite finie et déterminée (857), on peut négliger dans la somme 2 les termes en Ar°A6, leur somme ayant pour limite zéro, et l’on a fr f(@; y) d?T = lim Zf (r cos 6, r sin 6) rArA6.

Done, si l’on désigne par ri et re, r, re, les valeurs de r qui se rapportent à une valeur quelconque de © sur le contour de T et qui sont des fonctions de 0 données par ce contour, par 8, et 6 la plus petite et la plus grande valeur de 9 qui répondent à la région T, on aura

rt pure Fe do (° f(r cos 8, r sin 6) rdr.

367. La théorie des intégrales doubles présentée ci-dessus suppose essentiellement 1° que la fonction f(x, y) ne puisse croître numériquement au-dessus de toute grandeur dans la région d’intégration T; 2° que cette région elle-même ne s’étende pas à l'infini. Dans le cas où ces conditions ne seraient pas remplies, l'existence même de la limite de somme cesserait d’être établie, et il faudrait des définitions nouvelles et un examen spécial que nous ferons plus loin.

368. Des intégrales triples. — Les considérations développées dans ce chapitre peuvent être généralisées sans difficulté et étendues à des fonctions de trois variables x, y, z. La marche à suivre étant la même, nous nous bornerons à indiquer les résultats.

Soit f(x, y, z) une fonction que, pour éviter toute difficulté, nous supposerons finie et continue dans une région U à trois dimensions. Nous décomposerons l'espace U en éléments infiniment petits dans tous les sens par trois systèmes de surfaces, planes ou courbes, et soit « le volume d’un de ces éléments, (£, n, 6) un point quelconque appartenant

à cet élément. Désignons par 2f(E, n, 6) © la somme, étendue à tous les éléments de la région U, du volume de chaque élément multiplié par la valeur correspondonte f (ë, n, G) de la fonction. On fera voir :

1° Que cette somme tend vers une limite finie et déterminée, indépendante du mode de décomposition de la région U comme de la loi suivant laquelle le point (Ë, n, €) est choisi dans chaque élément w, lorsque tous ces éléments w décroissent indéfiniment dans tous les sens.

2° Que cette propriété subsisterait même si la fonction f(x, y, 2) devenait discontinue, sans surpasser une valeur absolue donnée, en certains points, sur certaines lignes ou sur certaines surfaces appartenant à la région U, pourvu qu’on puisse circonserire chacune de ces lignes ou de ces surfaces dans une région d’un volume aussi petit qu’on le voudra.

3° Que cette limite d’une somme d’éléments, qu’on appelle une intégrale triple et que l’on désigne par la notation conventionnelle

Try) AU,

a une valeur égale à Uf(£, n, 6), U représentant le volume de la région U et (£ë, n, 6) un certain point de cette région.

4° Que l'intégrale triple se ramène à trois intégrales successives par rapport à x, y, z, dans l’hypothèse où la surface S qui limite la région U est telle qu’une droite quelconque ne la coupe pas en plus de deux points. Dans ce cas, désignons par

Zi px, y), Z—=pr(x, y), (Zi < 22),

les valeurs de z qui correspondent à un même système de valeurs quelconques de x, y, sur la surface S, valeurs qui sont évidemment des fonctions de (x, y) définies par cette surface; par y1 — 4 (x), ys — Ve (x) les deux valeurs extrêmes de y (y: < y2) qui se rapportent à une même valeur de + dans la région U, et qui sont des fonctions déterminées de x ; enfin, par %, Le (x < æ2) les valeurs extrêmes de x qui appartiennent à la région d'intégration. On démontrera que

Ta Ye Ze Suftes y, 2 40 = (ax (ay (res y, 2 de, TX; Y1 Z1 &ely étant regardés comme invariables dans l'intégration par rapport à z; x dans l'intégration par rapport à y.

5° Que lorsque les limites d'intégration par rapport à z et à y sont constantes; en d’autres termes, lorsque la région U est limitée par un

parallélipipède rectangle dont les faces sont parallèles aux plans coordonnés, l'ordre dans lequel on effectue les trois intégrations successives est indifférent, la valeur de l'intégrale triple n’en est pas modifiée.

6° Que l’on peut employer, pour ramener l'intégrale triple à trois intégrales successives, au lieu de la décomposition en éléments par des plans parallèles aux plans coordonnées, une décomposition en éléments par tout autre système triple de surfaces infiniment voisines, par exemple, le système qui correspond aux coordonnées sphériques, ete. ete.