CO

(ee)

\ f{(x)dx

se ramenant sans peine à la première, il est inutile de nous en occuper.

883. Considérons maintenant une intégrale prise entre des limites finies, mais dans laquelle la fonction sous le signe [( passe par l'infini. Supposons que l’on ait

b Ua [ f{x)dx, f(b—0o)— oo,

la fonction f(x) étant d’ailleurs continue dans l’intervalle (a, b—e), où €

est une fraction aussi petite que l’on veut. Pour que l’intégrale (34%)

b—e ui im | f(x)dx

ait une valeur finie et déterminée, il faut et il suffit, d’après les principes de la théorie des limites, que l’intégrale singulière

(6) | er (x) dx,

où £’ est un nombre arbitraire moindre ques, tende vers zéro lorsque € tend vers zéro. Ainsi, l'intégrale

1—e dx ri I—E€ | — X "€?

ayant une valeur indéterminée qui dépend du rapports :e’,on peut en conclure que l'intégrale

1 dx

ne saurait avoir une valeur finie et déterminée.

Or, on peut, au moyen du premier théorème de la moyenne et en désignant par # un nombre positif constant, par & une quantité comprise entre b — € et b — £, écrire

(es fa) de = (— 8) 1) |

Le facteur (e* — <’*) tendant vers zéro lorsque € et £’ décroissent indéfiniment d’une manière quelconque, si (b — &)!-* f(£) ne croît pas

b—c’ dx ch çc'x b—c

Feet nbiqus, L'ub

indéfiniment, l’intégrale singulière (5) aura pour limite zéro. Done

II. Pour que l'intégrale uw” ait une valeur finie et déterminée, lorsque f(b — o) est infini, il suffit que l'expression (b — x)" f(x) ne puisse croître en valeur absolue au-dessus de toute limite lorsque x tend vers la limite b, k étant une constante positive, si petite qu’elle sont.

D'autre part, l'intégrale singulière peut aussi s’écrire

(Treo de = 69 @ 0"

. b—x le dernier facteur a une valeur indéterminée dépendant du rapporte:e’;

u’ ne pourra avoir un sens que si (b—Ë) f(E) tend vers zéro. D'où cette règle :

=(b—H OL;

IV. L'intégrale u' ne peut avoir une valeur finie et déterminée si VA (b — x) f(x) reste toujours supérieur à un nombre fixe, x tendant vers la limite b.

Si, dans l'intégrale w’, on avait f(a + 0) —w , ou si la fonction f(x) devenait infinie pour une valeur x — a, comprise entre a et b, on raisonnerait de même et l’on aurait des règles analogues faciles à énoncer; ces cas se ramènent d’ailleurs, comme on l’a vu, à celui que nous venons de traiter.

884. La règle [IT fait voir que les intégrales 1 dx 1 dx | Fr 99 M POUR EST — 3100

sont déterminées, car les produits

deal 29 Like" (x — æ)# (1 — x?) 10e (1 + x) 100 (1 2% r) 4e

s'évanouissent pour x = 1, si l'on prend k < 1 : 2 dans le premier cas; k << 0,01 dans le second. Mais on voit par la règle IV que l'intégrale

11 7° [. dx

n'existe pas, car (1 — x) (1 — x)! — (1 + x)! ne peut tendre vers zéro lorsque x tend vers l’unité. On sait en effet que cette intégrale est infinie. L'intégrale

( at (1 — x) dx, SEE

où oOLp<L1,0<q<1, a une valeur finie et déterminée, bien que la fonction sous le signe ( devienne infinie pour x = 0 et pour x = 1. L'intégrale importante

(ee) T (1) =| tester dr

est déterminée si p est © o. En effct, d’une part, lorsque x tend vers zéro, le produit ne croîtra pas indéfiniment si l’on prend k < . D’autre part, pour des valeurs indéfiniment croissantes de x, on aura lim'zlt métiers 0; X=o quelque grand que soit u (24). D'ailleurs, pour toute valeur de x entre zéro et l’infini la fonction sous le signe f est continue. 38%. Remarque. — Lorsque la fonction f(x) devient infinie pour une valeur c de x comprise entre a et b, on sait que, par définition, À "

, fl) d2 = lim ho fx) dx H fo de |

e et n tendant vers zéro d’un manière quelconque, et les règles ci-dessus montreront dans quels cas l’intégrale existe. Dans certains cas, l'intégrale peut être indéterminée, mais elle acquiert une valeur déterminée lorsque l’on prend n—e: cette valeur est dite alors la valeur principale de l’intégrale indéterminée. Ainsi, l'intégrale

Hide . f{(—sdx , fidx À ñ ( = lin (| RE + )= 1im 1.2

nt !

est indéterminée, mais elle a une valeur principale, qui est 1. 1 — 0, Certains problèmes d’analyse et de mécanique conduisent à des intégrales définies dont la valeur principale fournit la solution véritable de la question.

886. Les intégrales singulières ne sont pas seulement utiles pour vérifier l’existence d’autres intégrales, comme on l’a vu plus haut, mais aussi pour trouver leurs valeurs. Considérons, par exemple, l'intégrale