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Si k a une valeur positive, quelque petite qu’elle soit, le dernier facteur a pour limite zéro quand x’ et x”’ croissent indéfiniment, Si donc le facteur EF f(E) ne peut croître, en valeur absolue, au-dessus d’un nombre fixe, l'intégrale singulière aura pour limite zéro. Done

I. Pour que l'intégrale u ait une valeur finie et déterminée, il suffit que l'expression WA xl+* f(x) ne puisse croître indéfiniment avec x, k étant un nombre positif, si petit qu’il soit. |

D'autre part, on peut mettre l’intégrale singulière sous la forme

mA x” dx x!!

(rade E=ser (=).

et comme le dernier facteur a une valeur indéterminée qui dépend du rapport x” : x’, l'intégrale singulière ne peut tendre vers zéro, à moins que Éf(£) ne converge vers la limite zéro. De là cette seconde règle :

Il. L'intégrale u ne peut avoir une valeur finie et déterminée si l'expression Vzf(x), pour des valeurs indéfiniment croissantes de x, reste constamment supérieure à un nombre déterminé.

Exemples : La règle I montre que les intégrales

{ cos ax dx 0 (Us An d sont finies et déterminées; la règle IT fait voir que les intégrales

[ x dx Ç arc tg x

O0 111 | Ph

co : REA e-* dx, 9 x ‘“lzdx O

O X ne le sont pas.

382. Il est à remarquer que, si f(x) ne cesse pas de changer de signe pour des valeurs croissantes de x et même, dans certains cas, sans que f(x) change de signe, le produit x f(x) pourra acquérir des valeurs

absolues quelconques sans que l'intégrale soit infinie ou indéterminée, parce que ésuit une loi inconnue lorsque x’, x’’ croissent à l'infini. Considérons, par exemple, l’intégrale

oo 1 ( x *cos x dx, Ju

dans laquelle x f(x) — æ? cosx peut surpasser tout nombre donné lorsque x croit indéfiniment. On a

co 1 1 DÉETNPERS x ?cos x dx — | æ*sin x | x ?sin x dx, (4 a 2 et comme la dernière intégrale a une valeur finie et déterminée d’après la règle I, il en est de même de la première. On verrait qu'il en est de même pour les intégrales

x *sinx dx, cos x? dx, ( sinx? dx,

dont les deux dernières se ramènent aux précédentes. Les intégrales de la forme

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