O0 JE X

La valeur de cette intégrale singulière s’obtient sans difficulté ; elle est égale à

Be 6

cos aË 1. — — cos aË 1, =; QE (o 4

E étant compris entre les limites de l'intégrale, et ayant, par suite, zéro pour limite lorsque £ tend vers zéro. On a donc, à la limite,

in cos ax — cos x à. x

Tree Œ

38%. Différentiation sous le signe Î. — Une intégrale définie, dans laquelle la fonction sous le signe | renferme un paramètre arbitraire «, est une fonction de ce paramètre et l’on peut se proposer d’en chercher la dérivée par rapport à &«. Soit donc

b (1) p(= | fix,

et nous supposons d'abord que a, b soient des constantes finies ct indépendantes de «; que la dérivée partielle f4 (æ, «) de f(x, «) soit continue par rapport à (x, «) dans l'intervalle (a, b) de x et (a —e, «+ e) de «, e étant une quantité constante, si petite qu’elle soit d’ailleurs. Donnons à « un accroissement infiniment petit *, positif ou négatif; nous aurons, 0 étant > oet < tr,

S ns

PEER RE EC fa, a +de — 5 fre, a) dx

= (REED à == re (x, « + 0h)dx.

On peut poser fa(x, œ —+- 0h) a fa(Z, a) RH; H étant une fonction de x, « et h qui, pour toute valeur donnée de 1 tend vers zéro en même temps que h, et l’on a, par conséquent,

ah) — o(x b im LED RE ( fa (x, a)

b bite ( Hdz.

k=o Ja Mais, d’après l'hypothèse sur la continuité de f, (x, «), on peut supposer Wh assez petit pour que H soit moindre qu’une quantité donnée o, arbitrairement petite, pour toute valeur de x dans l'intervalle (a, b)(1389), donc

M (da € 5 (5 — 0

peut êtré supposé aussi petit qu’on le veut, donc sa limite est zéro lorsque h tend vers zéro, On a donc

(2) ea) = | fa (a, ads, a ou, sous une autre forme,

. | f(x axe (. DEEE) É à dx

Ainsi, quand les conditions énoncées sont vérifiées, pour différentier une intégrale définie par rapport à un paramètre variable, il suffit de différentier la fonction sous le signe d’intégration.

388. Cette règle de Leibnitz ne peut être étendue, sans restriction, aux intégrales dont une limite est infinie ou dont la fonction sous le signe [ passe par l'infini. Soit

o(a) (ft c) de,

et admettons que cette intégrale ait toujours une valeur dans l’intervalle (œ — €, « Le); que f(x, «) soit toujours continue dans l'intervalle (a, ©) de xet (x — €, « He) de «. Désignons par x’ une valeur de x, aussi grande que nous voulons, en sorte que

o(«) =( f(@, à) dx + f{æ, «) dx;

par suite, la règle de Leibnitz s'appliquant sans difficulté à la première de ces deux intégrales,

p’(a) ( fa(æ, &) dx + inf as na LEZ sa)

Si lintégrale de f(x, «) dx entre a et a un sens, on voit sans peine que cette équation peut s’écrire

(3) (a) —\ fax, à) dx + if” fat, a + 0h) — f{x,a)]dæ.

Dans le dernier terme, x’ peut avoir une valeur aussi grande qu’on le veut; si donc on peut prouver que, pour des valeurs suffisamment grandes de x’ et suffisamment petites de h, ce dernier terme devient aussi petit qu’on le veut, sa limite sera zéro et l’équation (2) subsistera pour le cas b— w,

Cest ce qui aura lieu, en général, si l'expression VA ct+# fu(x, «), où k est > o, ne croît pas au-dessus de toute limite pour des valeurs arbitrairement grandes de x, et pour des valeurs quelconques de « dans l'intervalle (x —e, «+ e), car on prouvera sans peine comme au n° 884 que la dernière intégrale décroit indéfiniment en valeur absolue lorsque x’ tend vers l'infini.

Ainsi, l'intégrale finie et déterminée

ee 2 ( e* cosaxdx O

nous donne

gi f(x, a) = — Fe *"sinar, qui tend vers zéro avec 1 : x, donc d C9

(ee) Rad À e- cosaxñ dx ——\ xe-** sinax dx.

da O O

389. Considérons encore le cas où dans l'équation (1), pour la valeur x —b, la fonction f(x, x) ou sa dérivée f; (x, «) deviendrait infinie, ou discontinue, dans le voisinage de la valeur de « que l’on considère. En désignant par x’ < b une quantité aussÿ voisine de b que l’on voudra, on aura, comme ci-dessus,

o(e)=Â" f(x, ajde +( ft a) de,

et l’on suppose d’ailleurs que © (x) a une valeur déterminée. On aura, d’après (2),

ah v(=[" fa(x, &) dx Him. lORSONSE

= AC: 2)+tim( Cfa (æ; x L 0h) — face, a)] dr,

et si l’on peut rendre le dernier terme aussi a qu'on le veut, en faisant tendre h vers zéro et x’ vers b, o’ (x) se réduira au premier terme et l’équation (2) subsistera. C’est ce qui aura lieu si, pour toute valeur de « entre « —e et axe, la LHOE WA(b — x) # fo(x, æ) reste inférieure à un nombre fixe.

Si la fonction f(x, «) devenait discontinue pour æ— a, ou pour certaines valeurs de x dans l’intervalle (a, b), on traiterait la question par une voie analogue facile à trouver,

Rd te a St D

390. Il reste à examiner le cas où les limites & et b dépendent elles-mêmes de «. Nous supposons d’ailleurs que les fonctions f(x, «), fa(æ, æ) vérifient les mêmes conditions qu’au n° 88%, et que a et b admettent des dérivées par rapport à «. En raisonnant comme au n° 361.et désignant par a;, b, des quantités comprises respectivement entre a et a + Aa, entre b et b + Ab, nous aurons

push) va) b fx, a + h) — f(x, à) re k à h | Ab Aa bah) fus ah) d’où, faisant tendre h vers zéro et ayant égard à ce qui a été démontré ci-dessus pour le premier terme (88%), da (o4

(4) e (= (Fe (x, «) dx + f(b, DT f(a, a)

Cette formule fournit la solution du problème.

391. Intégrales doubles(1}, — La définition des intégrales doubles (3%%) suppose que le champ d'intégration T soit limité dans tous les sens et que la foncton f(x, y) sous le signe [ reste finie dans toute la région T. Lorsque ces conditions ne sont plus vérifiées, il y a lieu de définir à nouveau l'intégrale double et de s’assurer si elle a encore un sens.

Supposons d’abord que le champ d'intégration T s’étende indéfiniment dans une ou plusieurs directions, la fonetion f restant finie et continue dans toute son étendue. On limitera par une ligne arbitraire (C’) une portion T’ de la région T, et l’on fera varier cette ligne de manière que la portion T’ finisse par embrasser tous les points de la région T. Si l'intégrale

fr f(& y) d'” tend vers une limite fixe, indépendante de la forme du contour arbitraire (C’), cette limite sera, par définition, la valeur de l'intégrale ,f(&;, y) dT étendue à la région indéfinie. Par exemple, si la région T est la portion indéfinie du plan comprise

(1) Pour les cas où ces intégrales peuvent se réduire à deux intégrales simples successives, voir la note à la fin du volume.

dans l’angle des coordonnées positives XOY, 1° on prendra l'intégrale dans le rectangle T’ limité par les droites x — 0, x — x", y —=0,y—Yy", on fera croître x’ et y’ indéfiniment et l’on cherchera la limite de l’intégrale ; d’ailleurs, l’intégrale prise dans la région T’ se calculera par deux intégrations par rapport à x et à y comme on l’a vu; 2° on s’assurera que la limite vers laquelle converge l'intégrale pour x’ et y’ infinis ne serait pas changée, si l’on substituait aux droites x = x’, y — y’ dans l’angle XOY un autre contour arbitraire, terminé aux axes OX, OY, et s'étendant indéfiniment dans toutes les directions à partir de l’origine O.

Si l'intégrale doit s'étendre à toute l’aire indéfinie de la parabole y? —2px, on la prendra d'abord dans une région T’ limitée par la courbe et par la droite x — x’, en sorte qu’on aura à intégrer par rapport à y entre — L/2px et + L/2pz, et par rapport à x entre x = 0, æ —=%", puis on fera croître x’ indéfiniment; il faudra que l'intégrale tende vers une limite finie et déterminée. Puis, on devra démontrer que cette limite resterait la même si l’on remplaçait la droite x — x’ par un contour arbitraire intérieur à la courbe, terminé de part et d’autre à celle-ci, et s’éloignant indéfiniment dans tous ses points du sommet de la courbe.

392. Les règles générales manquent, mais pour tracer la marche à suivre, concevons que la région T comprenne l’angle des coordonnées positives XOY, et que f(x, y), pour des valeurs indéfiniment croissantes de x et de y, finisse par rester constamment de même signe. 1° Prenons l'intégrale dans la région T’ limitée par les axes OX, OY et un cercle de rayon r” ayant pour centre l’origine; donc (866)

2 " ( A RONOARES | 45 | fr cos 6, r sin 6) r dr.

T 2020 Pour que cette intégrale ait une limite, r’ devenant infini, il sera nécessaire et suffisant que l’intégrale

Ç de [ f(r cos 0, r sin 6) r dr o) “

ait pour limite zéro, r”’ étant arbitraire, mais > r”. Cette condition sera remplie si, pour toute valeur de r supérieure à un nombre fixe, on a

(y) WA r?#t f(r cos 0, r sin 6) < M,