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M étant fini, À une constante positive, si petite qu’elle soit. En effet, on aura | 27 fr” HMRUT RTE I WA l do h fer dr < 2e [° COTES (x) et cette quantité aura pour limite zéro, r' et r’’ devenant infinis.

La condition lim p —o pourrait d’ailleurs être remplie sans que la condition (y) le fût; mais on verrait de même que, si Wr?/f(x, y) finissait par rester supérieur à un nombre fixe lorsque r croît à l'infini, l'intégrale p ne tendrait pas vers zéro et l’intégrale proposée n'aurait aucun sens.

3° Si lim p — 0, l'intégrale double aura un sens; car, quel que soit le contour (C’) par lequel on remplace le cercle de rayon r’, pourvu qu'il s’éloigne indéfiniment de l’origine, on pourra toujours le renfermer entre deux quarts de cercle de rayons r” et r”” indéfiniment croissants; f(x, y) étant parlout de même signe, l'intégrale étendue à la région limitée par (C’) et le cercle de rayon r’ sera, en valeur absolue, moindre que l’intégrale p dont le champ est limité par les cereles de rayons r’ et rh iet tendra vers zéro en même temps que p.

Donc, l'intégrale entre les OX, OY et le contour (C’) aura même limite que l'intégrale entre OX, OY et Le cercle de rayon r’,

Mais il importe de remarquer que cette conclusion cesserait d’être légitime, si f(x, y) ne finissait pas par être constamment de même signe lorsque r croit indéfiniment ; dans ce cas, la condition lim p — o est donc toujours nécessaire, mais elle n’est plus suffisante.

Si le champ d'intégration était déterminé par des conditions différentes, s’il s’'étendait, par exemple, à toute l'étendue du plan autour de l’origine, on procéderait par des voies analogues à la précédente.

393. Supposons maintenant que la région T étant limitée de toutes parts, la fonction f(x, y) devienne infinie en un certain point (x, y1) de l’intérieur de cette région, et qu’elle soit, partout ailleurs, finie et continue. On décrira autour du point (21, y:1) un cercle de rayon r; aussi petit qu’on voudra; l'intégrale double, étendue à la région T’ comprise entre ce ccrele et le contour de la région T, aura une valeur déterminée. Il sera nécessaire, pour que l'intégrale ir [ (x, y)dT existe, que cette valeur tende vers une limite déterminée lorsque r1 tend vers zéro, et pour cela, il sera nécessaire et suffisant que l’intégrale double, étendue

à la couronne circulaire comprise entre deux cercles concentriques de rayons ri et ro (re < 71), ait pour limite zéro lorsque r, tend vers zéro. Cette condition sera exprimée par l'équation

(8) lim g — lim de & je far + r cos 0, y + r sin 0)rdr — o.

Mais cette condition nécessaire ne sera pas suffisante : il faudra prouver encore, pour que l'intégrale double étendue à la région T ait un sens, que l'intégrale converge vers la même limite déterminée lorsqu'on remplace le petit cercle de rayon r, par tout autre contour infiniment petit enveloppant le point (x, y1).

Si la fonction f(x, y) tend vers l'infini en restant de même signe lorsque r tend vers zéro, la condition (9) entrainera celle-ci, car, soit (C) un contour fermé, arbitraire, circonscrivant une aire indéfiniment décroissante autour du point (#1, y1); on pourra toujours décrire autour de ce point deux cercles de rayons r, et r2 indéfiniment décroissants, comprenant entr’eux le contour (C), et l’on verra comme plus haut que l'intégrale double, étendue à la région comprise entre le contour (C) et le cercle de rayon r;, a pour limite zéro. Donc, etc.

Supposons, par exemple, que f(x, y) restant toujours de même signe, on ait pour toute valeur de r inférieure à un certain nombre

MA 72 f(x, + r cos 0, y; + r sin 0) M, M étant une quantité fixe et # une constante positive, qui peut être très petite. Nous aurons

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et cette quantité tendant vers zéro en même temps que r. et r2, l’intégrale q aura pour limite zéro et la condition nécessaire et suffisante pour que l'intégrale [x f (x, y) dT existe sera vérifiée.

Mais si la fonction f(x, y), en devenant infinie au point (æ:, yi), changeait de signe dans la plus petite région autour de ce point, on ne pourrait pas conclure de l'existence de la condition (9), que l'intégrale double a une valeur déterminée.

Si l’on avait constamment, dans le voisinage du point (t1, Ya),

nf (a: + r cos 0, y; Lr cos 6) > M,

on verrait de même que l'intégrale double a une valeur infinie.

2 1 QE = ri

[e) PO PR k

394. Si la fonction f(x, y) devenait infinie en un point du contour qui limite la région T, il faudrait, dans l'intégrale q, modifier les limites d'intégration par rapport à 0. Par exemple, si la région T est limitée par un rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes, et dont un sommet est à l’origine O, et si l’on a f (0,0) — ©, on voit sans peine que l’intégration par rapport à 0 devra se faire entre 0—oet0— Tr: 2.

393. Si la fonction f (x,y) devenait infinie en plusieurs points (1, y), (xe, y2),.… de la région T, il faudrait procéder pour chacun de ces points comme nous l'avons fait pour le premier.

Il peut encore arriver que la fonction f(x,y) devienne infinie pour tous les points d’une ligne ab tracée dans la région T, ou pour un nombre indéfini de points de cette ligne (fig. 60, n° 838). On prendra d’abord l'intégrale double dans une région T’ comprenant toute la région T, à l'exception d’une aire infiniment petite t enveloppant la ligne ab. On supposera que le contour de l’aire { se resserre de plus en plus en se rapprochant de ab, et si l'intégrale étendue à la région T’ tend alors vers une limite fixe S; si, de plus, on peut démontrer que cette limite reste la même de quelque manière que l’on fasse ainsi varier le contour de l’aire t, pourvu que cette aire décroisse indéfiniment, on dira que l'intégrale Îr { (x, y) dT existe, et sa valeur sera précisément cette limite S.

Des considérations analogues s’appliqueraient aux intégrales triples.