TOPIC
y—=ux, dy —udx + xdu,
En posant
il viendra pour l’équation entre uw et x,
(6) C£(u) H ufi(u)] dx + xfi(u) du — 0, et en divisant par x et par f(u)+-ufi(u), ce qui suppose que cette dernière expression ne Soil pus v
4, fi(u)du 14 fu) + ur) L'intégrale de cette Rue” où les variables sont séparées, est (u)du (7) I, z + (ire CHOC ERRE C, fa) E af)
et en effectuant la quadrature indiquée et remplaçant uw par y: x, on trouvera l'intégrale de l’équation (2).
Quant à l'hypothèse f{u) + ufi(u) —o, elle fournira pour w un certain nombre de valeurs déterminées wi, w2, .…., que l’on peut regarder comme vérifiant l’équation (6), puisqu'elles annulent le coefficient de dx et donnent du — 0. On aura donc encore les intégrales particulières ou singulières
SU L MQUEE LIL
406. Prenons comme exemple, A, B, A’, B’ étant constants, l’équation
(Ax + By)dx + (A'æ + B'y)dy — 0,
dans laquelle P et Q sont du premier degré. La transformation indiquée
conduit à l'équation [A + (B + A’) u + B'u°] dx + x (A + B'u) du = o. L'intégrale générale est | L 14 L x + Lorna B EIRE du —C, À — (B + A7) u + B'u?
et la fonction sous le signe [ étant rationnelle, la quadrature s’effectuera sans peine. La forme de l'intégrale dépend de la nature des racines de
l'équation A (B + A’)u + Bu? = 0.
Supposons-les réelles et inégales, et soient a, b leurs valeurs, en sorte que l’on ait A (B—+ A’) u + B'u? — B’ (u — a) (u — b).
En décomposant la fraction rationnelle en fractions simples, on aura A’ + B'u m e n AL(B+A')u+Bu u—a u—b
avec les équations
A = — B'(mb + na); 1 =m+n, pour déterminer m et n. L'intégrale générale sera donc Lx+ml(u— a)Lnl.(u —b) =0C, ou x (u — a)" (u — b}" — ef, ou encore, en mettant pour w sa valeur et posant e£ — C;, (y — ax)" (y — bx}" = C1.
car x!" se réduit à l’unité, à cause de la relation m <+-n — 1. Quant aux intégrales y — ax, y — bx, que l’on trouve en égalant à zéro le diviseur de l’équation en w, ce sont des intégrales particulières
répondant à C; — o ou à CG; — © suivant les signes des exposants m et n. 40%. L’équation
(Ax + By + D) dx H (A’x + B'y + D’) dy —
sa ramène à la précédente par la substitution
x—êta y—=n+6b,
« et B étant des constantes que l’on détermine par les conditions Aa + B£ + D —0o, Aa +B'B—E D'—0, ce qui conduit à l'équation entre Ëet n (AË + Bn) dé + (A'E + B'n) dn = 0, qui vient d'être intégrée. Cette transformation serait impossible si l’on avait AB’ — BA’ — o, car a et 5 seraient infinis; mais, dans ce cas, le
rapport de A/x— B'y à Ax + By serait constant, et l’on séparerait les variables en posant Ax + By — z.
408. Équation linéaire du premier ordre. — On appelle ainsi l'équation | (8) CRE dx J *
X et X, étant des fonctions données de x seul.
On procède encore par substitution. On pose y = uz, u et z désignant deux nouvelles fonctions de x dont une pourra être choisie à volonté. On a donc
dy = udz + zdu, dz du u— + 3— + Xuz = X RUE TA N et si l’on détermine 2 de facon à annuler le coeffient de w dans cette équation,
dz a — + Xz —=0 () + Xe 0, l'équation se réduira à 2 ; di On tire de la première dz —— — Xdr, = NX dr nr ere, z et de la seconde du Mk TT X je EXT ET TEE (>
d’où enfin, l'intégrale générale de l’équation (8),
(9) y = ef [CE [Xig Xi dx].
Nous remarquons qu’il est inutile de compléter par une constante l'intégrale { Xdx dans la valeur de z, car il nous suffit de trouver une fonction particulière z qui vérifie la condition (x). D'ailleurs, cette constante disparaîtrait d'elle-même.
Soit, comme exemple,
dy
—+- y COSX — siNnX COST.
dx 4
On a ici X — coszx, X1 — sin x cosx, d’où fXdx = sinx, ÎXie/Xt dx — fesins sinx cosxdx— esint (sinx — 1), et l’intégrale genérale est y —= Ces? LE sinx — 1.
409. On appelle équation de Bernoulli l’équation | dy 10 — + Xy = Xiyt ( ) dx y 17 2
qui se réduit à l'équation (8) pour n — — 1. Si l’on divise cette équation (10) par y"+!, on a
RUEL Le yTX = X1
et en posant z — y” et multipliant par — n,
= nXz——nxX:.
Cette équation linéaire s'intègre par la formule (0), et l’on en déduit yo [C— n [Xie Vkée dr, | ce qui est l'intégrale de l'équation de Bernoulli. Elle devient illusoire pour # — 0, mais dans ce cas l'équation (10) se réduit à Lx —x)y—0
et s’intègre immédiatement par la séparation des variables.
480. Remarques. — 1° Parmi les valeurs que l’on doit attribuer à la constante arbitraire pour obtenir toutes les intégrales particulières comprises dans l'intégrale générale, on doit comprendre les valeurs C——+ et C—— 0, car si l’on remplace C par 1 : C’ dans l’inté-
grale, ce qui est évidemment permis, l'intégrale générale transformée admet la valeur C/ — o de la constante.
2° L'intégrale générale peut prendre des formes variées si l’on remplace une fonction de la constante C par une nouvelle constante arbitraire C’. C'est ce qui explique que lintégrale d’une équation différentielle se présente, soit sous forme algébrique, soit sous forme transcendante. Ainsi l’équation
dx dy
ele Ho EAN
admet l'intégrale générale immédiate
are sin x arc sin y — C.
Mais si l’on multiplie l'équation par — xy et si on l’ajoute à la suivante qui en est une conséquence évidente :
da /T —y? + dypf1—2x— 0, on obtient celle-ci :
CR xy d — (ae pi HS) + (a ai à) 0, VAE Vi — 2°
dont le premier membre est une différentielle exacte et dont l'intégrale
2/1 —y Lyy/1— a = Ci.
Cette intégrale est algébrique, et l’on a C,; — sin C, comme on le voit par la formule qui donne ie sinus de la somme de deux arcs,
5° 11 faut remarquer encore que la forme de lintégrale peut changer suivant l'intervalle des valeurs de x dans lequel on la considère, une
est, par suite,
expression réelle dans un certain intervalle pouvant devenir imaginaire dans un autre.
Ainsi, l'équation linéaire dy œ ne ne dx
donne, dans les formules générales (8) et (9),
Né xX = 2 — —— DL?) — — — 7%?
dx = L( 2 )=—1p/1—42 re dx
frere de = à (= a are sin #,
et l'intégrale générale est
y = 1 — x? (C + a arc sin x).
Mais ce calcul roule sur la supposition implicite WA x < 1. Dans le cas oùWz>1,ona(2s?) |
fXdæ——1p/x—1, [Xe dx—al.(x La — 1),
et l'intégrale générale affecte la forme suivante
y=V/2— 1 [CH a L(t+p/z— 1)
On passerait d’ailleurs d’une forme à l’autre au moyen des relations des N° 252 et 2253.
4° Quand, pour faciliter l’intégration, on multiplie ou divise l’équation différentielle par une fonction des variables, il faut prendre garde que l’on peut ainsi introduire ou supprimer des solutions, comme on l’a déjà remarqué à propos de l'équation homogène. Ainsi l’équation
X,Y: dx + X2Y2 dy —= O
est vérifiée, en général, par les valeurs constantes de y que fournit l'équation Y, — 0, car ces valeurs donnent dy — 0. En divisant l’équation par Ÿ;, pour séparer les variables, on supprime donc ces intégrales qui peuvent être particulières ou singulières. Il y a même des câs où l'hypothèse X: — 0, qui donne x constant et dx nul, et vérifie par conséquent l'équation ci-dessus, ne doit pas être négligée. Elle correspond géométriquement à des droites parallèles à l’axe des y, lesquelles peuvent répondre au problème proposé.
Exercices.
Vérifier si les équations suivantes satisfont à la condition d’intégrabilité immédiate, et effectuer l'intégration :
d d de — x d, RER LS 1. os Pr de ec R.y= x cot(C—ÿ/ 1 + x? + y).
“ES y? “int | +(- #2 PR Pr + y?
R. x+tV/a + Ly—C, ou y? — C? — 2Cx.
